Onder de loep

Wiskunde en fysica zijn altijd nauw met elkaar verbonden geweest. In deze loep ligt de klemtoon op wiskundige activiteiten: er wordt gewerkt met functies, grafieken, ongelijkheden, driehoeken, cirkels en integralen. Maar de context waarin dit gebeurt is telkens ontleend aan de fysica: zwaartepunten, evenwicht, drijven, traagheidsmassa van rondtollende lichamen... We steunen hierbij op fysische wetten die we als uitgangspunten gebruiken zonder ze op zichzelf te bestuderen. De resultaten die wiskundig uit de bus komen, zijn vaak onvoorspelbaar en spectaculair. Soms kun je ze controleren door een fysisch experiment in de wiskundeles.

Het oplossen van problemen vraagt een combinatie van kennis, vaardigheden en ‘erin geloven’. Leren problemen oplossen is een zaak van elke dag. In deze loep laten we met veel voorbeelden voor verschillende graden en studierichtingen zien hoe dit in nagenoeg elke wiskundeles kan gebeuren, bij de gewone leerstof. Veel stukjes theorie en veel oefeningen kun je presenteren als problemen die moeten worden opgelost. Hoe kan de leraar als expert en coach dit best begeleiden? Hoe zorgt hij voor een uitnodigende sfeer waarin leerlingen zich durven gooien?

De verklarende statistiek gaat over steekproeven en wat je uit steekproefresultaten mag besluiten in verband met de populatie. In deze loep geven we twee aanvullingen ‘buiten het boekje’. De eerste aanvulling gaat in de breedte en is ook voor een breed leerlingenpubliek bedoeld. Op het einde van de lessen statistiek willen we even laten zien hoe ook andere statistischeproblemen op te lossen zijn, analoog maar met andere formules en andere steekproefverdelingen. De tweede aanvulling, voor leerlingen uit wiskundige richtingen, gaat in de diepte en laat iets meer zien van de wiskunde achter de statistiek. Wat zegt de beroemde ‘centrale limietstelling’, die verantwoordelijk is voor het grote belang van de normale verdeling, precies? Hoe kun je bepaalde formulesdie in de lessen statistiek aan bod komen, uit deze stelling afleiden?

Veeltermfuncties worden vaak gebruikt om ‘moeilijkere’ functies te benaderen. Door ervoor te zorgen dat in een punt de opeenvolgende afgeleiden tot een bepaalde graad van de veeltermfunctie en de gegeven functie gelijk zijn, ontstaat een Taylorveelterm. Met GeoGebra kunnen leerlingen de grafiek van de functie vergelijken met die van zijn Taylorveeltermbenaderingen. We bewijzen een afschatting voor de ‘fout’ bij het vervangen van de functie door zo’n benadering. Een volgende stap is het werken met een ‘machtreeks’, een soort oneindige veelterm die in een bepaald gebied naar de functie kan convergeren. Dit levert een nieuwe bril op om de functie te bestuderen en zelfs te veralgemenen tot een complexe functie. We besteden aandacht aan de geschiedenis van deze veeltermen en machtreeksen alsook aan hun nut in de fysica en in de wiskunde. Een geschikt onderwerp voor leerlingen van het laatste jaar met minstens 6 wekelijkse lesuren wiskunde...

We richten ons op toepassingen van wiskunde in de medische wereld. Voor de A- en B-stroom in de eerste graad werkten we activiteiten uit die kaderen in een themaweek rond gezonde voeding en rond genotsmiddelen. Verder presenteren we materiaal over farmaceutisch rekenen, voor leerlingen van het vijfde jaar tso met 2 uur wiskunde per week en bruikbaar bij het leerplanonderdeel mathematiseren. Voor richtingen uit de derde graad met minimaal 4 u wiskunde per week werkten we toepassingen over exponentiële functies en rijen uit in de context van de farmacokinetiek: hoe evolueert de concentratie van een geneesmiddel in het lichaam?

Tensegrities zijn een soort ruimtelijke constructies met staafjes en touwtjes die elkaar door trek- en spankrachten in evenwicht houden. In deze loep behandelen we bepaalde klassen van tensegrities die eenvoudig wiskundig kunnen worden nagerekend. Naast heel wat ruimtelijk inzicht volstaat hiervoor de wiskunde uit het vierde jaar. Met behulp van een 3D- designprogramma kunnen leerlingen daarna ook creatief aan de slag en hun eigen ontwerp maken. Als kers op de taart kunnen ze deze objecten tot slot nog knutselen.

De eerste graad is voor de leerlingen wennen aan een nieuwe wereld. De leerlingen komen uit verschillende lagere scholen en het niveau, zowel voor taal als voor wiskunde, is soms heel uiteenlopend. Daarom is het voor veel leerlingen nodig dat een deel van de leerstof van de lagere school wordt hernomen, terwijl anderen vooral uitkijken naar het 'nieuwe' dat ze op de grote school komen leren. Veel leerkrachten van de eerste graad zijn op zoek gegaan naar verrijkende activiteiten om al hun leerlingen de boeiende wereld van de wiskunde en haar toepassingen te laten ontdekken. In deze loep laten we enkele van deze collega’s aan het woord.

Bijna alle foto's en films worden tegenwoordig digitaal gemaakt en opgeslagen. We maken kennis met de wiskunde achter een digitale foto. Een digitale foto is een rooster met getallen. Wat is de samenhang met grijswaarden? Welke transformaties kunnen we uitvoeren om het contrast bij te regelen, een 'negatieve' foto te bekomen ...? Wat betekenen de histogrammen die op het schermpje van digitale fototoestellen verschijnen? We tellen ook beelden op en geven voorbeelden van visuele cryptografie: hoe kun je een geheime boodschap of beeld in een ander beeld verstoppen en het er weer uithalen? We gaan ook in op het comprimeren van beeldbestanden. Dit laatste onderwerp gaat wiskundig een stuk verder, daarom beperken we ons tot 'fractale compressie'.

In deze loep komen allerlei problemen aan bod waarvan de uitkomst ons op een of andere manier verrast. Het niveau van de onderwerpen bestrijkt zowel de eerste, tweede als derde graad. Bij sommige problemen blijkt het eerste antwoord dat in je opkomt bij nader inzien totaal fout te zijn. Enkel met een kritische blik op het eindantwoord of een goed onderbouwde, wiskundige redenering kun je anderen (en jezelf!) overtuigen dat het eindresultaat anders is. Sommige problemen sluiten rechtstreeks aan bij de leerstofonderdelen. Zo past een teken-activiteit met vierhoeken in de eerste graad. Een kansspel dat op een verrassende manier leidt tot een fractaal, kan zowel bij rijen als bij kansrekening aan bod komen. Een onverwacht limietgeval hoort dan weer thuis bij de regel van de l'Hospital in de derde graad. Andere problemen in deze loep staan eerder los van de leerstof wiskunde in het secundair onderwijs, maar zijn daarom niet minder interessant. Zoals de reden waarom het lijkt alsof je vrienden op Facebook gemiddeld meer vrienden hebben dan jezelf, en waarom het verkeer soms vlotter kan doorrijden door een welbepaalde straat te verwijderen. In deze loep kunnen de stukjes onafhankelijk van elkaar gelezen worden.

Een wiskundeleraar wil in de eerste plaats dat zijn leerlingen wiskunde leren. Het leren is iets wat de leerling zelf moet doen. Dit gebeurt in de klas, maar ook daarbuiten. Naast activerende werkvormen voor in de klas, zochten we naar manieren om meer impact te hebben op het leren buiten de klas. Zowel in de klas als daarbuiten kan dit online of offline gebeuren. De auteurs geven een persoonlijk verslag van hoe zij dit proberen te realiseren.