Onder de loep

In elk nummer wordt een deel van het leerplan of een aspect van het wiskundeonderwijs onder de loep genomen en uitgewerkt in een ruimer artikel.

Verrijkende activiteiten in de eerste graad

De eerste graad is voor de leerlingen wennen aan een nieuwe wereld. De leerlingen komen uit verschillende lagere scholen en het niveau, zowel voor taal als voor wiskunde, is soms heel uiteenlopend. Daarom is het voor veel leerlingen nodig dat een deel van de leerstof van de lagere school wordt hernomen, terwijl anderen vooral uitkijken naar het 'nieuwe' dat ze op de grote school komen leren. Veel leerkrachten van de eerste graad zijn op zoek gegaan naar verrijkende activiteiten om al hun leerlingen de boeiende wereld van de wiskunde en haar toepassingen te laten ontdekken. In deze loep laten we enkele van deze collega’s aan het woord.

[ Lees meer ]

Wiskunde achter beeldverwerking

Bijna alle foto's en films worden tegenwoordig digitaal gemaakt en opgeslagen. We maken kennis met de wiskunde achter een digitale foto. Een digitale foto is een rooster met getallen. Wat is de samenhang met grijswaarden? Welke transformaties kunnen we uitvoeren om het contrast bij te regelen, een 'negatieve' foto te bekomen ...? Wat betekenen de histogrammen die op het schermpje van digitale fototoestellen verschijnen? We tellen ook beelden op en geven voorbeelden van visuele cryptografie: hoe kun je een geheime boodschap of beeld in een ander beeld verstoppen en het er weer uithalen? We gaan ook in op het comprimeren van beeldbestanden. Dit laatste onderwerp gaat wiskundig een stuk verder, daarom beperken we ons tot 'fractale compressie'.

[ Lees meer ]

Verrassende wiskunde

In deze loep komen allerlei problemen aan bod waarvan de uitkomst ons op een of andere manier verrast. Het niveau van de onderwerpen bestrijkt zowel de eerste, tweede als derde graad. Bij sommige problemen blijkt het eerste antwoord dat in je opkomt bij nader inzien totaal fout te zijn. Enkel met een kritische blik op het eindantwoord of een goed onderbouwde, wiskundige redenering kun je anderen (en jezelf!) overtuigen dat het eindresultaat anders is. Sommige problemen sluiten rechtstreeks aan bij de leerstofonderdelen. Zo past een teken-activiteit met vierhoeken in de eerste graad. Een kansspel dat op een verrassende manier leidt tot een fractaal, kan zowel bij rijen als bij kansrekening aan bod komen. Een onverwacht limietgeval hoort dan weer thuis bij de regel van de l'Hospital in de derde graad. Andere problemen in deze loep staan eerder los van de leerstof wiskunde in het secundair onderwijs, maar zijn daarom niet minder interessant. Zoals de reden waarom het lijkt alsof je vrienden op Facebook gemiddeld meer vrienden hebben dan jezelf, en waarom het verkeer soms vlotter kan doorrijden door een welbepaalde straat te verwijderen. In deze loep kunnen de stukjes onafhankelijk van elkaar gelezen worden.

[ Lees meer ]

Wiskunde-leren activeren

Een wiskundeleraar wil in de eerste plaats dat zijn leerlingen wiskunde leren. Het leren is iets wat de leerling zelf moet doen. Dit gebeurt in de klas, maar ook daarbuiten. Naast activerende werkvormen voor in de klas, zochten we naar manieren om meer impact te hebben op het leren buiten de klas. Zowel in de klas als daarbuiten kan dit online of offline gebeuren. De auteurs geven een persoonlijk verslag van hoe zij dit proberen te realiseren.

[ Lees meer ]

Wiskunde en fysica

In fysica wordt voortdurend gebruik gemaakt van technieken uit wiskunde en omgekeerd worden in de les wiskunde vaak voorbeelden en toepassingen uit fysica bestudeerd. Leerlingen maken de transfer tussen de twee vakken niet automatisch en hebben daar vaak moeite mee. Deze loep biedt inspiratie om de samenhang tussen beide vakken te tonen. We gaan dieper in op begrippen en benamingen die in de les fysica gebruikt worden met betrekking tot vectoren. Ook het scalair en vectorieel product komen aan bod in fysische contexten. Verder zoeken we methoden om het zwaartepunt van vlakke figuren te bepalen. Dat doen we zowel experimenteel als theoretisch, wat een mooie toepassing van integraalrekening oplevert. We behandelen ook een modelleeropdracht waarbij we een antwoord zoeken op een aantal vragen met betrekking tot de regen. Hoe blijf je zo droog mogelijk wanneer je zonder paraplu door een regenbui moet? Tot slot gaan we dieper in op de wiskunde bij de slingerbeweging. We helpen je op weg om zelf een ‘pendulum wave’ te maken, een golf van slingers met verschillende lengte.

[ Lees meer ]

Veeltermvergelijkingen van vroeger tot nu

We brengen leerlingen van de 21ste eeuw in contact met hoe Egyptenaren in de oudheid, Arabieren in de middeleeuwen en Italianen in de renaissance vergelijkingen oplosten. Egyptenaren losten eerstegraadsvergelijkingen op met een gok die ze aanpasten door te verdubbelen en te halveren. Ook de middeleeuwse ‘regula falsi’ start met één of twee gissingen, waarmee de oplossing berekend wordt. De recepten van Al-Khwarizmi om tweedegraadsvergelijkingen op te lossen, werden met ingenieuze meetkundige puzzels verklaard. De geschiedenis van de derde- en hogeregraadsvergelijkingen in de renaissance en erna vormt een ware thriller. Met deze mooie stukjes historische wiskunde hopen we dat de leerlingen ons vak meer als een boeiend menselijk avontuur dan als een afgewerkt product ervaren. Bovendien gaan ze de efficiëntie van de huidige wiskundige oplossingsmethodes beter appreciëren als ze geconfronteerd worden met de moeilijkheden van vroeger, toen men het zonder negatieve getallen en zonder onze handige algebraïsche schrijfwijze moest doen.

[ Lees meer ]

Economische contexten in wiskundelessen

Wiskunde wordt in allerlei andere disciplines gebruikt. Economie is een van deze disciplines. Toch zijn economische contexten nog niet zo sterk doorgedrongen in wiskundelessen. Daar willen we met deze loep verandering in brengen. We werkten vier toepassingen uit die goed aansluiten bij de leerplannen van de tweede en derde graad. En passant geven we de wiskundeleraar een pak economische achtergrondkennis mee. Vier onderwerpen komen aan bod: optimale verdeling van geproduceerde goederen over twee markten, een pittig extremumprobleem met eerste- en tweedegraadsfuncties, gebruik van afgeleiden en integralen bij marginale kosten en opbrengsten, en, tot slot, een blik op Lorenzkrommen en Ginicoëfficiënt vanuit de beschrijvende statistiek en de analyse.

[ Lees meer ]

Ruimtemeetkunde in de tweede graad

Ruimtelijk inzicht is van fundamenteel belang voor ieder van ons en we kunnen het verbeteren door te oefenen. Reden genoeg om ruimtelijk inzicht centraal te stellen in onze lessen ruimtemeetkunde. In het bijzonder richten we ons in deze loep op de lessen ruimtemeetkunde van de tweede graad, al kan een deel van het materiaal ook in de eerste graad worden gebruikt. Aan de hand van een powerpoint geven we een mogelijke manier om de lessen ruimtemeetkunde van het vierde jaar op een attractieve manier te starten en zo de interesse van de leerlingen te wekken. Daarna bekijken we een aantal kortere lesactiviteiten waarbij we het 'zien' in de ruimte centraal stellen. Volgende items komen hierbij aan bod: ontwikkelingen, aanzichten, series van doorsneden, onderlinge ligging van rechten (snijden of kruisen), toepassingen van vlakke meetkunde in de ruimte en een klein onderzoek naar de oppervlakte van een kegel. We behandelen ook een lesactiviteit over de doorsnede van een kubus met een vlak. Het doel hierbij is niet de ‘snijkunde’ op zich, maar wel willen we de leerlingen de zinvolheid van eigenschappen laten ervaren in redeneringen op ruimtelijke situaties.

[ Lees meer ]

Oneindig en oneindig is twee

Het begrip ‘oneindig’ is fascinerend en duikt regelmatig op in wiskundelessen, van het eerste tot het zesde jaar. Maar het is een begrip dat vele ladingen dekt. We kunnen oneindig zien als een (onbegrensd) aantal, als het kardinaalgetal van een oneindige verzameling. Er blijken verschillende oneindige kardinaalgetallen te bestaan. Oneindig duikt ook op bij limieten van rijen en functies. Dan gaat het helemaal niet over een aantal, maar over een dynamisch proces. Wat bedoelen we als we zeggen dat x ‘naar oneindig’ gaat? In deze loep geven we ideeën en materiaal om met leerlingen dieper in te gaan op het oneindige, zowel in de eerste en de tweede graad als in de derde graad.

[ Lees meer ]

Een normaal getal zien, en dan sterven

De loep van dit nummer is de tekst van de plenaire voordracht op onze feeststudiedag van 15 maart 2014. Philippe Cara gaat in op verrassende eigenschappen van de irrationale, de transcendente en de normale getallen. Deze laatste soort is minder bekend maar is de laatste tijd onder wiskundigen een ‘hot topic’ geworden. Het geheel is gekruid met historische weetjes. Zo kan elke soort getallen met een sterfgeval in verband worden gebracht (vandaar de titel). Mooie bewijzen worden niet geschuwd en hier en daar duikt een nog onopgelost probleem op. De aandachtige lezer leert zeker veel bij over de wondere wereld van de getallen.

[ Lees meer ]