Onder de loep

De recente peiling wiskunde in de tweede graad aso toont minder goede resultaten voor algebra, vooral voor leerlingen die minder sterk zijn voor wiskunde. Problemen met algebra zijn niet nieuw en komen even goed elders in de wereld voor. Je kunt zeker niet alles oplossen met een betere didactiek, maar dat neemt niet weg dat er op dat vlak toch nog ruimte voor verbetering is. Uit wetenschappelijk onderzoek blijkt dat we niet uitsluitend mogen inzetten op het gedachteloos inoefenen van basisvaardigheden. We moeten integendeel aansturen op een goede combinatie van rekenvaardigheid en algebraïsch inzicht. In het verleden maakten we een loep over het inzichtelijk aanbrengen van leerstof. Nu illustreren we met heel veel voorbeelden uit (vooral) de eerste en tweede graad hoe je de leerstof kunt inoefenen terwijl je tegelijk blijft werken aan het opbouwen van inzicht.

Symmetrische patronen kom je tegen in de natuur, in het straatbeeld en in de kunst. Maar symmetrie is ook een sleutelbegrip in de wiskunde en de natuurwetenschappen. Het is de moeite waard om in de wiskundelessen meer aandacht te besteden aan symmetrische figuren en symmetriegroepen. In deze loep zetten we de stap van transformaties naar symmetriegroepen. We laten zien hoe leerlingen van de derde graad de symmetriegroepen van rozetten en strookpatronen (friezen) kunnen ontdekken. Aan de hand van opdrachten bewijzen ze dat er juist zeven groepen van strookpatronen mogelijk zijn. Sommige activiteiten en opdrachten uit deze loep kunnen ook in de eerste en de tweede graad ingelast worden.

Priemgetallen zijn de bouwstenen van de natuurlijke getallen. Priemgetallen hebben mooie eigenschappen. Sommige daarvan zijn al van in de tijd van Euclides gekend en bewezen, andere zijn nog open problemen en wachten nog op een bewijs of een tegenvoorbeeld. We focussen op eigenschappen en vermoedens die bij de leerlingen verwondering wekken. Daarnaast gaan we ook op zoek naar priemtests. Bij dit alles komen wel wat bewijsvormen kijken.

Een goocheltruc trekt altijd de aandacht. "Hé, hoe is dat mogelijk?" In deze loep beschrijven we een vijftiental goocheltrucs die de leerlingen met wiskunde kunnen verklaren. Er zit goochelmateriaal in voor alle graden. Een greep uit de wiskundige onderwerpen waar de trucs op gebaseerd zijn: rekenen met letters, deelbaarheid, rijen, kansverdelingen... en vooral leren schematiseren, modelleren en problemen oplossen.

Handwerken, zowel breien als haken, is weer helemaal in! Allerlei initiatieven schieten als paddenstoelen uit de grond: breicafés, wildbreiacties, tentoonstellingen… In deze loep laten we je beperkt kennismaken met brei- en haaktechnieken. We leren een breipatroon begrijpen en berekenen o.a. hoe je een tennisbal breiend kan inpakken. Tijdens het modelleren van de verschillende projectjes komt er op een verrassende wijze wiskunde bovendrijven: van de euclidische deling over exponentiële functies naar diophantische vergelijkingen.

Het onderwerp ‘evenredigheid’ vormt een schakel tussen de verhoudingstabellen in de lagere school en de functies in de tweede en de derde graad. In het eerste jaar s.o. is er bij verschillende onderwerpen de gelegenheid om de kennis uit de lagere school levendig te houden. In het tweede jaar worden naast tabellen ook grafieken en formules gebruikt om evenredige en andere verbanden te beschrijven. In de tweede graad duiken evenredigheden regelmatig op in de meetkunde en wetenschappen. We benadrukken in deze loep dat evenredigheid een model is voor een welbepaald soort verband tussen variabele grootheden, naast andere soorten verbanden.

Modelleren is een belangrijk aspect van wiskunde. Met modelleren bedoelen we hier niet kartonnen modellen van veelvlakken knutselen, maar fenomenen uit de realiteit beschrijven met wiskundige objecten zoals functies of matrices. We beperken ons niet tot kant-en-klare wiskundige modellen, maar we betrekken de leerlingen ook bij het vereenvoudigen en vertalen naar een wiskundig model, bij het interpreteren van de resultaten en het kritisch evalueren van het model. Er is een stuk over eerstegraadsfuncties voor de tweede graad. Leerlingen van de derde graad modelleren schuimkragen, flessen en olifantenpopulaties.

Wiskundig denken is niet te herleiden tot het toepassen van formele logica. Toch kan een kennismaking met logica een steun zijn om bepaalde denkfouten binnen en buiten de wiskunde te begrijpen en te vermijden. Deze loep bestaat uit twee modules. De eerste legt de nadruk op logisch redeneren buiten de wiskunde en kan een keuzeonderwerp zijn in een richting met weinig uren wiskunde. De tweede module is een vervolg op de eerste en is bedoeld voor leerlingen van de derde graad die een zwaarder wiskundepakket kozen. In deze module worden begrippen uit de logica toegepast op wiskundige redeneringen en redeneerfouten, op basis van leerstof uit de tweede en derde graad.

De beschikbaarheid van computeralgebrasystemen (kortweg: CAS) is zeer groot geworden. Kunnen deze toestellen een meerwaarde vormen voor onze leerlingen bij het aanleren en toepassen van wiskunde? Aan de hand van enkele voorbeelden uit de klaspraktijk laten we zien dat het antwoord op deze vraag genuanceerd is.

Naast tastbare modellen kan ook dynamische ruimtemeetkunde op computer in lessen ruimtemeetkunde worden ingezet, om leerlingen te laten experimenteren en om resultaten te verifiëren. We laten zien hoe dit kan bij vlakke doorsneden van kubussen in het vierde jaar en bij de analytische ruimtemeetkunde in de derde graad. Soms is het maken van een dynamische ruimtefiguur een uitdaging op zich: hoe pak je het bv. aan om een voetbal te construeren? Ten slotte wordt een project over perspectieftekenen beschreven, met zowel een echte als een virtuele glasplaat.