Onder de loep

Wat krijg je te zien als je op een horizontale kartonnen figuur zoveel mogelijk droog zand strooit? De kartonnen figuur leg je bv. op een bekertje, zodat het overtollige zand er kan afrollen. Welke ruimtefiguur wordt gevormd door het zand dat blijft liggen, als de kartonnen figuur een cirkelschijf is, of een vierkant, of een trapezium, of …? Hoe ziet de zandhoop er in bovenaanzicht uit? In deze boeiende lesactiviteiten zoeken leerlingen ook naar verklaringen en passen ze hierbij hun meetkundekennis toe. We voorzien in de eerste paragrafen van deze loep onderzoeksactiviteiten voor de tweede graad. De laatste paragrafen zijn bedoeld voor leerlingen van de derde graad die vertrouwd zijn met kegelsneden.

Het doel van de algebraïsche structuren in de gevorderde wiskunde van de derde graad is breed en kan op verschillende manieren en met verschillende structuren ingevuld worden. In deze loep presenteren we zo’n mogelijke structuur: vectorruimten. De leerstof van vectorruimten kun je in verband brengen met andere leerstofonderdelen en bereidt voor op wetenschappelijke opleidingen in het hoger onderwijs. Als inspiratie overlopen we drie didactische benaderingen: van concreet naar abstract met vele (tegen-)voorbeelden, vanuit de axioma's met formele bewijzen, en vanuit open problemen met eigen onderzoek, waarbij we overvloedig strooien met voorbeeldlesactiviteiten uit gratis online lesmateriaal. Als afsluiter vatten we het vakdidactisch onderzoek rond vectorruimten samen met een lijst van typische misconcepties, ingekaderd in de theorie van de 'drie werelden' (meetkundig, symbolisch en formeel).

In deze loep verkennen we de cruciale fase waarin leerlingen in het secundair onderwijs voor het eerst kennismaken met variabelen. Dit kan leiden tot misconcepties zoals de ‘letter-als-object’ fout, waarbij variabelen worden gezien als concrete objecten in plaats van het vertegenwoordigen van hoeveelheden. We baseren ons op recent onderzoek uitgevoerd aan de Universiteit Utrecht en de Universiteit van Duisburg-Essen, waarbij 2.220 leerlingen werden getest voor en na één maand algebraonderwijs. We analyseren hoe hun denkpatronen evolueren en linken deze bevindingen aan praktische klaservaringen. Aan de hand van concrete materialen en onderzoeksresultaten ontdekken we welke didactische strategieën het meest effectief zijn om misconcepties te voorkomen en leerlingen te helpen bij een sterke start in algebra.

Wat is het verband tussen het spel boter-kaas-en-eieren, prijszetting door concurrerende bedrijven en penalty bij voetbal? Het zijn allemaal toepassingen van speltheorie: spelers maken rationele keuzes om te winnen of hun opbrengst te maximaliseren. Met deze loep bieden we geen cursus of lessenreeks over speltheorie aan, maar voorzien we enkele voorbeelden en activiteiten die in beperkte tijd en los van elkaar aan leerlingen aangeboden kunnen worden. Er is weinig voorkennis voor nodig. Enkele specifieke begrippen uit de speltheorie komen via voorbeelden aan bod, zoals maximin-strategieën en het Nash-evenwicht.

Vlot kunnen programmeren wordt in verschillende studierichtingen een essentiële vaardigheid, niet alleen in de wiskundelessen maar ook in de lessen van informaticawetenschappen. De programmeertaal Python is hier uitermate geschikt voor. We starten in deze loep met eenvoudige programma’s over de convergentie van rijen, bouwen de moeilijkheidsgraad op met het benaderen van nulwaarden en we eindigen met projecten rond big data, waarvoor iets diepere kennis van Python nodig is.

De nieuwe eindtermen brengen veranderingen met zich mee voor de kansrekening. De informele aanloop met kansbomen verschuift van de tweede naar de derde graad en zal voor sommige leraren derde graad nieuw zijn. Er is ook een nieuw onderwerp: kruistabellen. In het eerste deel van de loep werken we een didactische aanpak uit voor de kansrekening met kansbomen en kruistabellen. We nemen daarbij een aanloop en kijken eerst naar ‘telbomen’, die in de tweede graad gebleven zijn. In het tweede deel richten we ons op studierichtingen in de derde graad waar het niet stopt bij kansbomen en kruistabellen. We tonen hoe je daar de verschillende ‘tools’ uit de kansrekening (kansbomen, kruistabellen, verzamelingen en stochastische veranderlijken) in elkaar kunt laten passen.

In veel studierichtingen zijn de determinanten terug van weggeweest. Deze loep speelt in op deze nieuwe leerplansituatie. We belichten twee sporen die leiden naar het determinantbegrip: de oplosbaarheid van stelsels en de inverteerbaarheid van matrices. Het eerste spoor is bedoeld voor wie het kort wil houden. Het tweede spoor biedt meer diepgang en gaat ook in op eigenschappen, de regel van Cramer en eigenwaarden. Tot slot is er een paragraaf voor wie zich afvraagt hoe je determinanten meetkundig kunt voorstellen en of je eigenschappen van determinanten meetkundig kunt verklaren.

Het rekenwerk is niet het hoofddoel van de wiskunde, maar leerlingen die onvoldoende vaardig zijn in algebraïsch rekenen, lopen vaak vast bij wat wel essentieel is. In deze loep schetsen we een leerlijn voor algebraïsche rekenvaardigheden. We focussen op het inoefenen van het ontbinden in factoren en het rekenen met rationale lettervormen. We overlopen ook verschillende websites die hierbij gebruikt kunnen worden.

Er is soms weinig contact tussen de onderwijzers die lesgeven in de lagere school en de wiskundeleerkrachten van het secundair onderwijs. We nemen de overgang tussen basis- en secundair onderwijs onder de loep voor een aantal onderwerpen: meetkunde, percenten, verhoudingstabellen en coördinaten. Telkens schetsen we hoe die aan bod komen in de basisschool en in het begin van het secundair en we doen voorstellen om de overgang te verbeteren.

2024 wordt het verkiezingsjaar in België. Redenen genoeg om uit te pakken met de wiskunde die achter deze verkiezingen zit. Hoe worden stemmen omgezet in zetels? We bespreken verschillende systemen om dit te doen. Victor D’hondt, een Gentse jurist en wiskundige, werd wereldberoemd met zijn algoritme om stemmen om te zetten in parlementszetels. Hoewel er meerdere systemen zijn om stemmen om te zetten in zetels, zullen we zien dat elk systeem een aantal tegenstrijdigheden kent. Eens de zetels verdeeld zijn, stelt zich uiteraard nog de vraag wie die zetels gaat bemannen in het parlement. Als afsluiter bekijken we de gemeenteraadsverkiezingen en de methode Imperiali, een merkwaardig maar vooral onevenredig zetelverdelingssysteem. Het mooie achter al deze systemen is dat ze relatief eenvoudig aan te brengen zijn. Zelfs in de eerste graad kun je een wiskundeles besteden aan de verkiezingen, een lesje op het kruispunt tussen burgerschap en wiskunde.