Onder de loep

De hervorming van het secundair onderwijs in de eerste graad bracht, naast nieuwe eindtermen voor de A- en de B-stroom, ook eindtermen basisgeletterdheid voor wiskunde, Nederlands, digitale competenties en financiële geletterdheid met zich mee. Basisgeletterdheid omvat een aantal essentiële doelen die je nodig hebt om als geletterde en gecijferde burger aan de maatschappij te kunnen participeren. In deze loep verdiepen we ons in de wiskundige inhoud van deze eindtermen basisgeletterdheid. We reiken haalbare ideeën aan om zinvol en met de nodige diepgang met deze doelen in de klas om te gaan. We geven een omschrijving van gecijferdheid, we kijken naar een aantal evoluties die de invoering van de eindtermen basisgeletterdheid wiskunde verklaren. Daarna onderzoeken we hoe die eindtermen exact zijn opgesteld en op welke manier ze geïntegreerd kunnen worden in de reguliere (wiskunde)lessen. We sluiten af met een hoofdstuk over het evalueren van de basisgeletterdheid.

Een groep is een algebraïsche structuur, een abstract patroon dat je terugvindt bij meetkundige transformaties, getallen, matrices, veeltermen… en dat een sleutelbegrip vormt in de hogere wiskunde, de fysica en de cryptografie. Overal waar het gaat over een invariant, iets dat behouden blijft wanneer iets verandert, zit daar een groep achter. Leerlingen van de derde graad in richtingen met ‘gevorderde wiskunde’ zullen daar in de nabije toekomst mee kennis maken. We brengen groepen en cayleytabellen aan vanuit twee contexten: de symmetrie van vlakke figurenen en het modulorekenen. Groepen in verschillende contexten zijn soms ‘hetzelfde’ en dit motiveert het werken in een abstracte groep. Na enkele abstracte bewijsjes en de studie van voorbeelden en tegenvoorbeelden, keren we terug naar de symmetrie maar dan in de ruimte. Het ‘slim tellen’ van symmetrieën van veelvlakken leidt tot de stelling van Lagrange over deelgroepen en nevenklassen.

Met de zogenaamde digisprong krijgen in meer en meer scholen de leerlingen een laptop. Hierdoor gaat de grafische rekenmachine vaak naar de uitgang: de GR-exit. In deze loep bekijken we welke moeilijkheden en mogelijkheden hierdoor ontstaan. Wat met toetsen en examens? GeoGebra zal meer gebruikt worden: we geven enkele voorbeelden uit de klas. Ook het programmeren in Python krijgt een plaatsje in de wiskundeles. We laten zien hoe je dit in de tweede graad kunt aanbrengen. We eindigen ten slotte met een theoretisch kader over het doel van informatietechnologie en computers in het onderwijs.

Een parameterkromme is meer dan een kromme: je krijgt ook informatie over waar je begint, hoe je de kromme doorloopt, hoe snel en waar je stopt. Hierbij interpreteren we de parameter als de tijd. Een zelfde kromme kan op verschillende manieren geparametriseerd worden. In deze loep bekijken de schuine worp, Lissajousfiguren en het ontwerpen van (paas)eieren. Enkele historische krommen zoals de cissoïde van Diocles en de cycloïde passeren de revue. We eindigen met een toepassing uit de wegenbouw: de clothoïde, waarbij de kromming geleidelijk aan verandert zodat je niet uit de bocht vliegt. De parametervergelijkingen van deze kromme bevatten integralen die je niet exact kunt berekenen. Om een clothoïde te benaderen en te tekenen maken we gebruik van een Pythonprogramma.

Een nieuwe eindterm voor de tweede graad doorstroomfinaliteit gaat over het grafisch voorstellen van bivariate statistische gegevens onder de vorm van een spreidingsdiagram en het beschrijven van het verband tussen de twee variabelen met behulp van een trendlijn. In deze loep laten we zien hoe je deze leerinhouden in de klas kunt behandelen. Het is een onderwerp dat op de grens zit tussen statistiek en functieleer en het vormt een uitstekende gelegenheid om in te gaan op het gebruik van functies als wiskundig model voor fenomenen uit de realiteit. We leggen expliciet de band met het gebruik van spreidingsdiagrammen en trendlijnen in wetenschapsvakken en in de media. We gaan ook in op de vaak voorkomende misvatting dat samenhang tussen twee variabelen automatisch een oorzakelijk verband met zich mee zou brengen.

Optimalisatieproblemen oplossen met behulp van lineaire programmering, is een nieuwe eindterm. Het is een onderdeel van operationeel onderzoek, typische wiskunde van de handelsingenieur. Een interessant aspect van lineaire programmering is de combinatie van het visuele (het werken op de grafiek) en het algebraïsche. Wat je doet met de ongelijkheden en de winst- of kostenfunctie, of wat je in de matrices doet bij de simplexmethode, kun je grafisch interpreteren en de inspiratie voor wat je algebraïsch doet komt van het grafische. Dat over en weer gaan leidt tot inzicht. Bovendien geeft het een inkijk in enkele echte toepassingen van ongelijkheden. Deze combinatie van het visuele en het algebraïsche vormt de rode draad doorheen deze loep. Bij het grafisch oplossen voorzien we enkele uitbreidingsoefeningen, waarin gebruik gemaakt wordt van parameters.

Kennis van logica kan leerlingen helpen om bewijzen beter te doorgronden, het nut van tegenvoorbeelden in te zien… Daarnaast vormt logica, op het kruispunt van wiskunde en filosofie, een stukje algemene cultuur. Door de opkomst van de informatica heeft de logica nog aan belang gewonnen. De nieuwe eindtermen en leerplannen voorzien een leerlijn logica, met in de tweede graad de propositielogica met o.a. waarheidstabellen. In deze loep willen we inspiratie bieden voor deze lessen. We gaan in op het verschil tussen de taal van de logica en de dagelijkse omgangstaal. We behandelen waarheidstabellen en passen die toe op schakelingen en logische poorten. Het bewijs uit het ongerijmde geven we speciale aandacht. In de klassieke logica geldt het ‘uitgesloten derde’: een uitspraak kan enkel waar of onwaar zijn. Op het einde van deze loep kijken we even over het muurtje naar een andere soort logica, driewaardige logica.

Gastauteur Cinder Neyens creëerde voor haar bachelorproef een website met instapproblemen voor wiskundelessen in de eerste graad. Voor deze loep heeft zij een aantal voorbeelden uit haar website geselecteerd horend bij verschillende onderwerpen van het leerplan. Deze instappen zijn kant en klaar. Het zijn korte activiteiten om op een leuke manier te starten en de aandacht van de leerlingen te richten op het onderwerp van de les. Deze loep is ook een uitnodiging voor de lezer om zelf dergelijke instappen te creëren en te delen met collega’s.

Op het moment dat COVID-19 bijna een jaar ons leven tekent, willen we onze ervaringen gebruiken om ons onderwijs te verbeteren. We werden gedwongen om in sneltempo vele nieuwe dingen te leren. Tijdens de hete zomer van 2020 keken we vanop een afstand kritisch terug. Nieuwe dingen uitproberen zorgt immers voor nieuwe inzichten. Deze loep is een poging om een aantal van deze inzichten scherp en concreet te maken. We zoeken uit hoe ‘wat we toen leerden’ ons onderwijs kan versterken. Deze loep is zeker geen pleidooi voor digitaal leren of afstandsonderwijs. We kiezen vol overtuiging voor nabij en interactief onderwijs maar we zijn niet vies van digitale hulpmiddelen die dit onderwijs kunnen versterken of onszelf kunnen ondersteunen. Eerst lichten we enkele inzichten toe die de coronacrisis scherper maakte, vervolgens lees je over ervaringen die we niet zonder meer los willen laten en vragen we ons af hoe ze ons onderwijs kunnen versterken. Daarna geven we een aantal bronnen die we tijdens de coronacrisis (her)ontdekten en die we waardevol vinden. Tot slot eindigen we met een kleine ‘toolkit voor noodgevallen’.

In deze coronatijd overstelpen de media ons met uitgebreid cijfermateriaal. Zelden werd het belang van wiskunde zo duidelijk onderstreept voor de hele maatschappij. Toch loopt de itnerpretatie van dit materiaal nogal eens fout. In deze loep doen we een bescheiden poging om helderheid te brengen in dit kluwen van informatie. We zoomen in op drie Covid-gerelateerde thema's die bruikbaar zijn in de lessen wiskunde. We brengen de beruchte contactbubbels in verband met grafentheorie. Vervolgens bespreken we een item in verband met kansrekening in het kadeer van teststrategieën voor Covid-19. In het laatste deel focussen we op een uitgewerkte onderzoeksopdracht over de discrete versie van heet beruchte SIR-model. We leveren in deze loep materiaal voor in de klas en achtergrond om te kunnen vertellen elk jaar.