Spinnenweb

In het spinnenweb verzamelen we allerlei korte bijdragen: een vraag over de aanbreng van een bepaald stuk leerstof, een kort verslag van een uitgeprobeerde les, een leuk idee om de leerlingen te boeien... Alle vragen, bijdragen en suggesties worden verwacht bij de redactie.

De gemiddelde schaduw van een voetbal, ook al is hij niet zo rond

Stel dat je tussen de keerkringen woont. Je moet dan minstens naar de Westelijke Sahara of naar het zuiden van Egypte verhuisd zijn. In het gepaste seizoen staat de zon dan ‘s middags in het zenit. Stel bovendien dat je een partijtje voetbal speelt en je schopt de perfect bolvormige voetbal met veel spinkracht de

[ Lees meer ]

Had ik dit maar vroeger geweten: Office Lens

Heb jij vorig schooljaar ook zo zitten foeteren achter je computer als jouw ijverige leerlingen foto’s van hun schrijfsels doorstuurden? Ze trokken met hun smartphone meestal één foto per blad zodat je per leerling meerdere bestandjes van allerlei formaten (jpg, png, pdf, heic) te lezen kreeg. Sommige foto’s stonden dan nog op hun kop of

[ Lees meer ]

Logica in algebra

[les] Formule uitspreken Hoe spreek je [latex](x+y)^2[/latex] uit? Als je zegt 'het kwadraat van [latex]x[/latex] plus [latex]y[/latex]', dan kan dit ook als [latex]x^2+y[/latex] begrepen worden. Als je zegt '[latex]x[/latex] plus [latex]y[/latex] in het kwadraat', dan kan dit ook als [latex]x+y^2[/latex] begrepen worden. Bedenk een manier om het uit te spreken zodat elke verwarring uitgesloten is. Voor welke koppels [latex](x,y)\in \mathbb{R}^2[/latex] maakt het allemaal niets uit? [/les] Ik kwam op het idee van deze oefening bij het lezen van een kort fragmentje uit een artikel in Euclides (Kindt, 2020). Deze opgave had niet misstaan in onze loep over 'gewoon mooie oefeningen'.…

[ Lees meer ]

Convergentieonderzoek van een bijzondere rij met behulp van integralen

Wanneer we in het zesde jaar de toepassingen van integralen behandelen, vinden we in onze leerboeken de klassieke toepassingen binnen de wiskunde: het berekenen van oppervlakten, inhouden, booglengten en manteloppervlakten. Bij de toepassingen uit andere disciplines komen snelheid en versnelling, kracht en arbeid, zwaartepunten en een aantal economische toepassingen aan bod. In de kansrekening komen ook integralen voor, nl. bij de behandeling van de continue stochasten zoals de normale verdeling. In dit artikel wil ik een andere toepassing binnen de wiskunde belichten: het convergentieonderzoek van een rij die verwant is met de harmonische rij. Dit jaar heb ik deze toepassing…

[ Lees meer ]

Wiskunde en biologie: menotaxis

Om te kunnen vliegen volgens een rechte lijn, oriënteren sommige insecten zich 's nachts op het maanlicht of overdag op zonlicht. Ze vliegen dan in één vlak onder een constante hoek met de lichtstralen, die bij maan- of zonlicht als een parallelle bundel kunnen worden gezien (figuur 1). [caption id="attachment_23538" align="aligncenter" width="510"] Figuur 1 Menotaxis bij zon- of maanlicht[/caption]   Dit principe van constante hoekoriëntatie wordt menotaxis of menotaxie genoemd. De benaming komt van het Griekse [latex]\mu\epsilon\nu\epsilon\tilde{\iota}\nu[/latex] (blijven) en [latex]\tau\acute{\alpha}\xi\iota\sigma[/latex] (táxis, ordening). Sommige insecten passen deze menotaxis ook toe bij puntvormige lichtbronnen zoals een lamp of een kaars. Op die…

[ Lees meer ]

Het ABCD van de koordenvierhoeken

Voor een willekeurige driehoek geldt dat de drie hoekpunten op een cirkel liggen, de zogenaamde omcirkel of de omgeschreven cirkel. In dit artikel onderzoeken we of dit ook geldt voor vierhoeken. We gaan na of de hoekpunten van een willekeurige vierhoek altijd op een omcirkel liggen. Als er een omcirkel bestaat, noemen we de vierhoek een koordenvierhoek of een cyclische vierhoek. Als we drie van de vier hoekpunten van een vierhoek nemen, liggen die altijd op een omcirkel. De drie punten zijn immers niet collineair. Opdat de vierhoek een koordenvierhoek zou zijn, moet ook het vierde hoekpunt op deze omcirkel…

[ Lees meer ]

Vergeten begrippen (8): Cuspiden

Bij het bestuderen van functies komen we soms knikken tegen: als er wortels voorkomen in het functievoorschrift of absolute-waarde-tekens. Maar de ene knik is de andere niet. Zo heeft de functie [latex]f(x)=\sqrt[5]{x^2}[/latex] een knik met slechts één raaklijn in het knikpunt (de volle grafiek in figuur 1). Zulk een knik noemen we officieel een cuspide. In oude geschriften las ik wel eens de toepasselijke naam doornpunt. Maar zelf zou ik het liever een speerpunt noemen. Cuspis is immers de Latijnse benaming voor de punt van een lans, een pijl, de drietand van Neptunus en de angel van een schorpioen. Er…

[ Lees meer ]

Vier punten, twee afstanden

Als je vier punten in een vlak aanduidt dan bepalen die zes verschillende afstanden. Het is niet mogelijk dat alle zes de afstanden gelijk zijn (want dan zijn de punten de hoekpunten van een tetraëder in de ruimte) maar voor zeer speciale configuraties zullen er slechts twee verschillende afstanden voorkomen. De vier punten, twee afstanden-puzzel werd bekend door Peter Winkler, wiskundeprof aan het Dartmouth College in Hannover: Bepaal alle vlakke configuraties van vier punten met exact twee onderlinge afstanden. Ik zou je willen aanmoedigen om eerst zelf na te denken over dit probleem vooraleer verder te lezen. Misschien kan deze…

[ Lees meer ]

De oppervlakte van een paraboolsegment

[kader titel="Noot van de redactie"]We kregen dit artikel van collega Caterina Vicentini (Liceo Scientifico "Buonarroti", Monfalcone, Italië). Francesco Bulli is één van haar leerlingen van het derde jaar van het Liceo. In Italië heb je vijf jaar lager onderwijs, drie jaar middenschool en vijf jaar "Liceo". Het derde jaar Liceo is dus het derdelaatste jaar en komt ongeveer overeen met ons vierde jaar (behalve dat Italianen één jaar ouder zijn dan onze leerlingen als ze afstuderen uit het secundair onderwijs, want 5+3+5=13). Voor zover Caterina en Francesco weten is deze formule nog nergens gepubliceerd. Mocht de lezer die al in…

[ Lees meer ]

‘Jobs, jobs, jobs’ en hoe een goede grafiek meer inzicht geeft

‘Geen enkele premier kan zeggen dat er onder zijn leiding zoveel jobs bijkwamen als Charles Michel.’ schreef De Standaard op 30 november 2019. Ook als ik de krant lees, kan de wiskundeleraar in mij zich niet helemaal koest houden. De politieke inhoud verdween dan ook naar de achtergrond en ik bleef haken aan de grafiek bij het artikel, die in figuur 1 hieronder overgenomen is. [caption id="attachment_20602" align="aligncenter" width="647"] Figuur 1 Aantal extra jobs per regeerperiode. Evolutie sinds de regering Dehaene II. Overgenomen uit De Standaard, 30/11/19, p. E5.[/caption]   De grafiek onderbouwt de uitspraak van de journalist en toont…

[ Lees meer ]