Spinnenweb

In het spinnenweb verzamelen we allerlei korte bijdragen: een vraag over de aanbreng van een bepaald stuk leerstof, een kort verslag van een uitgeprobeerde les, een leuk idee om de leerlingen te boeien... Alle vragen, bijdragen en suggesties worden verwacht bij de redactie.

Vergeten begrippen (6): Modus tollens

Het begrip dat hier opgerakeld wordt, is afkomstig uit de afdeling logica. Sinds de laatste leerplanhervormingen, begin deze eeuw, is de logica in het secundair onderwijs op de achtergrond geraakt. Het nadenken over logische verwantschappen tussen uitspraken (enkele pijl of dubbele pijl?) en over bewijstechnieken (contrapositie, bewijs uit het ongerijmde …) werd jarenlang als minder

[ Lees meer ]

Een intuïtieve manier voor het oplossen van vierkantsvergelijkingen

Een oude techniek in een nieuw jasje Een poosje geleden bekeek ik op het Youtubekanaal Mind Your Decisions een filmpje over het oplossen van vierkantsvergelijkingen zonder gebruik te maken van de discriminantformule. De methode was ontleend aan professer Po-Shen Loh, de coach van het wiskundeolympiadeteam van de Verenigde Staten en professor aan de Carnegie Mellon Universiteit in Pittsburgh. Hij baseerde zich op een oude Babylonische en Griekse benadering. De oude techniek in het nieuwe jasje op Youtube sprak me aan omdat mijn leerlingen af en toe moeilijkheden hebben met het memoriseren van de discriminantformule. De methode van Po-Shen Lo gaat…

[ Lees meer ]

De 15-puzzel

Een klassieker onder de wiskundige puzzels is de 15-puzzel, die in 1880 uitgevonden en gepatenteerd werd door Noyes Chapman. De uitvinding werd later onterecht geclaimd door de puzzelbedenker Sam Loyd. In een -schuifbord zitten 15 verschuifbare tegeltjes in een geordend patroon. Vaak zijn het de getallen van 1 tot 15 die op de tegeltjes zijn

[ Lees meer ]

De rijkdom van meetkunde

What is the area of the square? [caption id="attachment_18158" align="aligncenter" width="300"] Figuur 1 What is the area of the square?[/caption]   De opgave van figuur 1 sprak mij meteen aan. Net als ik tekent de auteur Ben Orlin graag meetkundige figuren (deels) met de losse hand. Ik vind trouwens van mijzelf dat ik dit [latex]-[/latex] op een degelijk krijtbord [latex]-[/latex] goed kan. Daarentegen suggereert Orlin met de naam van zijn website dat hij niet goed kan tekenen. Valse bescheidenheid? Ik loste de opgave op met de stelling van Pythagoras en zocht niet verder. Maar toen ik deze opgave aan mijn…

[ Lees meer ]

Wiskunnend Wiske, de komieke kookplaat

Sinds 2011 organiseert de VUB een wiskundewedstrijd voor leerlingen uit het vijfde en zesde jaar van het secundair onderwijs: Wiskunnend Wiske. In deze wedstrijd moeten groepjes leerlingen in drie voorronden open problemen oplossen, bij voorkeur door wiskundig te modelleren. Ze maken hier een verslag van, dat tegen een bepaalde deadline moet worden ingezonden. De groepjes met de beste verslagen krijgen de kans om aan de finale deel te nemen, die in de lente, klassiek op [latex]\pi[/latex]-dag, plaatsvindt op de VUB-campus in Etterbeek. [caption id="attachment_18138" align="aligncenter" width="300"] Figuur 1 Het logo van Wiskunnend Wiske[/caption]   De vragen die in Wiskunnend Wiske…

[ Lees meer ]

Gras of klaver? Voorbeeld van een probleemoplossende aanpak

Problemen kunnen oplossen is een belangrijke troef voor het verder leven, zowel maatschappelijk als beroepsmatig. Problemen oplossen is echter niet ‘gewoon een talent’. De ene leerling zal er wel meer voeling voor hebben dan een andere. Toch is het kunnen oplossen van problemen ook aan te leren en kunnen leerlingen er steeds beter in worden.

[ Lees meer ]

De zeven bruggen van Koningsbergen

In de achttiende eeuw had de Russische stad Koningsbergen (vanaf 1946 omgedoopt tot Kaliningrad) gelegen aan de monding van de Pregel, zeven bruggen zoals te zien is op figuur 1. Het klassieke probleem van Koningsbergen verwijst naar deze bruggen. Dit probleem gaat als volgt: Is het mogelijk om een wandeling door Koningsbergen te maken, precies

[ Lees meer ]

Vergeten begrippen (5): Regel van Guldin

Enkele nummers geleden lieten we in een bibwijzerbijdrage zien hoe onze voorouders oppervlakten van grillige vlakdelen bepaalden zonder te steunen op integraalberekeningen. Ze maakten gebruik van een mechanisch toestel uit de oude (wiskunde-)doos: de integraaf of de planimeter. Ook het zwaartepunt van een vlakdeel kan mechanisch achterhaald worden met een toestel uit de oude (naai-)doos. Knip het vlakdeel uit een stevig stuk karton en probeer het bovenop een naald in evenwicht te laten balanceren. Lukt dit, dan is het ondersteuningspunt het zwaartepunt. Bij concave vlakdelen ligt het zwaartepunt soms buiten het vlakdeel. In dat geval heb je weer een ander…

[ Lees meer ]

Kantelen

Elk jaar geef ik aan de zesdejaars een extremumprobleem waarvan ze de uitwerking in de vorm van een verslag moeten geven. Deze opdracht is een onderdeel van het werken aan onderzoekscompetenties, namelijk het leren schriftelijk rapporteren van hun resultaten. De leerlingen werken er in groep aan en dus mag de opgave wel wat steviger zijn. Zo een opgave verscheen een hele tijd geleden in Mathematics Teacher. [les] Wanneer je het laatste restje van een doos (gesmolten) roomijs wilt oplepelen, gaat dit het gemakkelijkst als je de bak om één van de zijden kantelt. Spontaan probeer je de bak zo te…

[ Lees meer ]

Knikkers in de doos

Het probleem Ik leg dit probleem soms voor aan mijn studenten van wat vanaf dit jaar de Educatieve Bacheloropleiding Secundair onderwijs heet. Het is een probleem dat ik al heel lang ken, zo lang dat ik niet meer met zekerheid weet waar ik het gehaald heb. Ik denk dat het een opgave was van het toelatingsexamen voor burgerlijk ingenieur, toen dit toelatingsexamen nog bestond. Hoeveel knikkers met diameter 1 cm kun je in een balkvormige doos van 60 cm bij 10 cm bij 1 cm stoppen? De oorspronkelijke versie van het probleem luidde, als ik mij goed herinner, wellicht met…

[ Lees meer ]