Spinnenweb

In het spinnenweb verzamelen we allerlei korte bijdragen: een vraag over de aanbreng van een bepaald stuk leerstof, een kort verslag van een uitgeprobeerde les, een leuk idee om de leerlingen te boeien... Alle vragen, bijdragen en suggesties worden verwacht bij de redactie.

Multiverzamelingen

Het begrip verzameling speelde in de jaren ’70 een belangrijke rol in ons wiskundeonderwijs. Met de nieuwe eindtermen is het terug van weggeweest. Onze leerlingen kennen de begrippen element, deelverzameling, unie, doorsnede en verschil. Deze begrippen worden in deze tekst uitgebreid naar algemenere begrippen. In een verzameling komt elk element slechts één keer voor. We

[ Lees meer ]

Gaatjes vullen met kwadrieken

Soms moet je met je lessen 'gaatjes vullen'. Ik geef bijvoorbeeld regelmatig les aan samengestelde klasgroepen met leerlingen uit verschillende studierichtingen en dan gebeurt het al eens dat een deel van de klas op uitstap is terwijl het ander deel gewoon les heeft. Of: net voor de vakantie ben je klaar met een onderwerp en er is nog een half uurtje tijd over, te weinig om met iets compleet nieuws te beginnen. Of: je moet onverwacht invallen voor een zieke collega en de leerlingen hebben hun cursusmateriaal niet bij voor je les. Je herkent ongetwijfeld het fenomeen. In de zoektocht…

[ Lees meer ]

Invalshoek en terugkaatsingshoek bij een vlakke spiegel: een extremumprobleem

In dit artikel beschrijf ik een stuk uit een les die ik in het vijfde jaar geef bij de leerstof rond afgeleiden en extremumvraagstukken. De leerlingen hebben op dat moment al enkele simpele basisoefeningen gemaakt op extremumvraagstukken en de moeilijkere oefeningen kwamen nog niet aan bod. Het gaat om een typische toepassing uit optica: als licht weerkaatst op een spiegelend oppervlak, dan maken de invallende en de teruggekaatste straal gelijke hoeken met de normaal. De verklaring voor dit verschijnsel kan op verschillende manieren gebeuren, ook door het als een extremumvraagstuk te benaderen. Je vindt deze oefening regelmatig in handboeken, ik…

[ Lees meer ]

Begeleide onderzoeksopdracht over machten en veeltermen

In de tweede graad ASO in het vrij onderwijs kennen de leerlingen de merkwaardige producten met tweedemachten. Maar ook de merkwaardige producten [latex]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/latex] en [latex]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/latex] zijn op het einde van het vierde jaar gekend. Ze behoren tot de basisleerstof van leerweg 5. Wat in de tweede graad niet meer tot de parate kennis en tot de leerplannen behoort zijn de formules voor [latex](a+b)^3[/latex] en [latex](a-b)^3[/latex]. Deze formules zijn in de klas makkelijk af te leiden door [latex]a+b[/latex] en [latex]a-b[/latex] tweemaal met zichzelf te vermenigvuldigen. Dit doe ik in het vierde jaar als aanloop naar een begeleide onderzoeksopdracht. De werktekst die…

[ Lees meer ]

Het kunstgalerijprobleem

In kunstgalerijen met dure kunstvoorwerpen is er permanente camerabewaking nodig. Hoeveel camera's zijn hier minstens voor nodig? Dit probleem, bekend als het kunstgalerijprobleem of het museumprobleem, werd in 1973 voor het eerst geformuleerd door Viktor Klee. Bewakingscamera's in een museum kunnen in elke richting kijken maar ze kunnen niet van positie veranderen. Om het museumprobleem te vereenvoudigen nemen we aan dat camera's puntgroot zijn en dat ze in het kleinste hoekje van een kamer kunnen gemonteerd worden. Verder veronderstellen we dat er geen objecten of personen in het museum aanwezig zijn die het cameratoezicht kunnen belemmeren. Het kunstgalerijprobleem mag opgevat…

[ Lees meer ]

Vergeten begrippen (4): Wijzer en mantisse

Ik ben nog jong maar soms voelt dit anders aan. Vooral wanneer ik mijn leerlingen mijn afgeleefde logaritmetafels toon, het tabellenboekje waarin ik tot aan het einde van de zeventiger jaren logaritmen en goniometrische waarden opzocht tot op vijf cijfers na de komma. Ik, en wellicht ook mijn vader, gebruikte op school de tafels van N. J. Schons en C. De Cock. In die tijd ‘de tiende uitgaaf’. [caption id="attachment_11499" align="aligncenter" width="572"] Figuur 1 Uit een logartimeboekje[/caption]   In het vierde jaar leerden we sinussen en cosinussen, tangensen en cotangensen berekenen van hoeken, nauwkeurig tot op één seconde. De tabellen…

[ Lees meer ]

Hoe dik mogen staarten zijn?

Ik heb altijd al een voorliefde gehad voor paradoxen in verband met oneindig: eindige sommen van een oneindig aantal positieve getallen, eindige oppervlakten van een oneindig lang oppervlak, eindige inhouden van lichamen met een oneindige oppervlakte ... Het inzicht in het begrip oneindig ontwikkelt zich door de leerjaren heen. In de tweede graad is het voor veel leerlingen nog verbazend dat het oneindig doorlopende getal 1,999... precies gelijk is aan 2. In de derde graad wordt er intens gefocust op limieten en daardoor groeit het aanvaardingsproces van eindige grootheden bij oneindig doorlopende processen. In het zesde jaar laat ik me…

[ Lees meer ]

Veelvouden van 3 graden

Wie goniometrie studeert, maakt al vlug kennis met de sinussen en cosinussen van de speciale hoeken van [latex]30^\circ, 15^\circ, 60^\circ \dots[/latex]. Deze goniometrische waarden worden beschreven door mooie wortelvormen: [latex]\sin 60^\circ= \frac{\sqrt{3}}{2}.[/latex] Het is bekend dat er exacte uitdrukkingen bestaan voor de sinussen en cosinussen van alle hoeken die een geheel veelvoud zijn van [latex]3^\circ[/latex]. Je ziet hiervan een overzicht in de onderstaande de tabel (Stranen). Inderdaad, al deze waarden kunnen met behulp van wortels uitgedrukt worden : [latex]\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{2 \pm \sqrt{3}}, \sqrt{5 \pm \sqrt{5}}\,.[/latex] In deze tabel zijn alleen hoeken opgenomen tussen [latex]0^\circ[/latex] en [latex]45^\circ[/latex]. De…

[ Lees meer ]

Stappenplan: handig of toch niet?

Stappenplannen kunnen handig zijn. Ze bieden houvast bij het uitvoeren van procedures. Maar er zit ook een andere kant aan: een snelle en handige weg naar het antwoord leidt niet altijd tot het gewenste begrip. Inleiding In wiskundeboeken en instructiefilmpjes op internet kun je talloze stappenplannen vinden. In heldere, overzichtelijke stappen worden leerlingen geholpen hun

[ Lees meer ]