Spinnenweb

In het spinnenweb verzamelen we allerlei korte bijdragen: een vraag over de aanbreng van een bepaald stuk leerstof, een kort verslag van een uitgeprobeerde les, een leuk idee om de leerlingen te boeien... Alle vragen, bijdragen en suggesties worden verwacht bij de redactie.

Wiskunde en biologie: menotaxis

Om te kunnen vliegen volgens een rechte lijn, oriënteren sommige insecten zich ‘s nachts op het maanlicht of overdag op zonlicht. Ze vliegen dan in één vlak onder een constante hoek met de lichtstralen, die bij maan- of zonlicht als een parallelle bundel kunnen worden gezien (figuur 1).   Dit principe van constante hoekoriëntatie wordt

[ Read More ]

Het ABCD van de koordenvierhoeken

Voor een willekeurige driehoek geldt dat de drie hoekpunten op een cirkel liggen, de zogenaamde omcirkel of de omgeschreven cirkel. In dit artikel onderzoeken we of dit ook geldt voor vierhoeken. We gaan na of de hoekpunten van een willekeurige vierhoek altijd op een omcirkel liggen. Als er een omcirkel bestaat, noemen we de vierhoek een koordenvierhoek of een cyclische vierhoek. Als we drie van de vier hoekpunten van een vierhoek nemen, liggen die altijd op een omcirkel. De drie punten zijn immers niet collineair. Opdat de vierhoek een koordenvierhoek zou zijn, moet ook het vierde hoekpunt op deze omcirkel…

[ Read More ]

Vergeten begrippen (8): Cuspiden

Bij het bestuderen van functies komen we soms knikken tegen: als er wortels voorkomen in het functievoorschrift of absolute-waarde-tekens. Maar de ene knik is de andere niet. Zo heeft de functie [latex]f(x)=\sqrt[5]{x^2}[/latex] een knik met slechts één raaklijn in het knikpunt (de volle grafiek in figuur 1). Zulk een knik noemen we officieel een cuspide. In oude geschriften las ik wel eens de toepasselijke naam doornpunt. Maar zelf zou ik het liever een speerpunt noemen. Cuspis is immers de Latijnse benaming voor de punt van een lans, een pijl, de drietand van Neptunus en de angel van een schorpioen. Er…

[ Read More ]

Vier punten, twee afstanden

Als je vier punten in een vlak aanduidt dan bepalen die zes verschillende afstanden. Het is niet mogelijk dat alle zes de afstanden gelijk zijn (want dan zijn de punten de hoekpunten van een tetraëder in de ruimte) maar voor zeer speciale configuraties zullen er slechts twee verschillende afstanden voorkomen. De vier punten, twee afstanden-puzzel werd bekend door Peter Winkler, wiskundeprof aan het Dartmouth College in Hannover: Bepaal alle vlakke configuraties van vier punten met exact twee onderlinge afstanden. Ik zou je willen aanmoedigen om eerst zelf na te denken over dit probleem vooraleer verder te lezen. Misschien kan deze…

[ Read More ]

De oppervlakte van een paraboolsegment

[kader titel="Noot van de redactie"]We kregen dit artikel van collega Caterina Vicentini (Liceo Scientifico "Buonarroti", Monfalcone, Italië). Francesco Bulli is één van haar leerlingen van het derde jaar van het Liceo. In Italië heb je vijf jaar lager onderwijs, drie jaar middenschool en vijf jaar "Liceo". Het derde jaar Liceo is dus het derdelaatste jaar en komt ongeveer overeen met ons vierde jaar (behalve dat Italianen één jaar ouder zijn dan onze leerlingen als ze afstuderen uit het secundair onderwijs, want 5+3+5=13). Voor zover Caterina en Francesco weten is deze formule nog nergens gepubliceerd. Mocht de lezer die al in…

[ Read More ]

‘Jobs, jobs, jobs’ en hoe een goede grafiek meer inzicht geeft

‘Geen enkele premier kan zeggen dat er onder zijn leiding zoveel jobs bijkwamen als Charles Michel.’ schreef De Standaard op 30 november 2019. Ook als ik de krant lees, kan de wiskundeleraar in mij zich niet helemaal koest houden. De politieke inhoud verdween dan ook naar de achtergrond en ik bleef haken aan de grafiek bij het artikel, die in figuur 1 hieronder overgenomen is. [caption id="attachment_20602" align="aligncenter" width="647"] Figuur 1 Aantal extra jobs per regeerperiode. Evolutie sinds de regering Dehaene II. Overgenomen uit De Standaard, 30/11/19, p. E5.[/caption]   De grafiek onderbouwt de uitspraak van de journalist en toont…

[ Read More ]

De optimale hoek voor een tuinslang

Om leerlingen te motiveren voor de wiskunde is het vaak interessant ontdekkingen en stellingen te vermelden die niet meteen in de les worden uitgediept. Soms wordt een bewijs achterwege gelaten omdat het te veel tijd kost. Soms ook omdat de nodige wiskundige tools voor een bewijs buiten het bereik van de leerlingen liggen. En af en toe formuleer ik zelfs een ongenuanceerde bewering waar ik zelf de draagwijdte niet juist van inschat en waar ik dus ook geen bewijs van kan aanleveren. Laatst gebeurde dit bij de extremumproblemen met goniometrische functies. Ik somde er lukraak enkele op, zoals dat van…

[ Read More ]

Wiskundige achtergrond bij de coronacrisis

De bedoeling van deze korte bijdrage is om het wiskundige SIR-model voor de verspreiding van een virus uit te leggen en aan de hand van enkele simulaties de impact van de maatregelen van de overheid (social distance: beperking van contacten) te illustreren. In UW33/4 schreef Jan Baetens al eerder een artikel over de SIR-modellering. Hierin werden voornamelijk de didactische aspecten van digitale werkbladen belicht. Die zullen hier niet aan bod komen. Het model Epidemiologie is de wetenschappelijke studie van het voorkomen en de verspreiding van ziekten binnen en tussen populaties. Hierin wordt vaak het wiskundige SIR-model gebruikt dat een verband…

[ Read More ]

Vergeten begrippen (7): Corrolaria en porismen

In deze aflevering van ‘Vergeten begrippen’ had ik een negental verwante begrippen met elkaar willen vergelijken: een axioma, een lemma, een stelling, een postulaat, een theorema, een propositie, een corrolarium, een conjectuur en een porisme. Helaas, de titellijn was te kort om ze alle negen aan te kondigen. Het eerste begrip is algemeen bekend. Een

[ Read More ]

Vergeten begrippen (6): Modus tollens

Het begrip dat hier opgerakeld wordt, is afkomstig uit de afdeling logica. Sinds de laatste leerplanhervormingen, begin deze eeuw, is de logica in het secundair onderwijs op de achtergrond geraakt. Het nadenken over logische verwantschappen tussen uitspraken (enkele pijl of dubbele pijl?) en over bewijstechnieken (contrapositie, bewijs uit het ongerijmde ...) werd jarenlang als minder belangrijk beschouwd. Hoewel, bij de nieuwe leerplannen voor de eerste graad, die in september 2019 in voege gegaan zijn, is deze component terecht weer meer in de kijker gezet. Ook het onderwijs van de logica is onderhevig aan tendensen. De logica kan axiomatisch aangebracht worden…

[ Read More ]