SpinnenwebIn UW 6/2 werd in het Spinnenweb een inzending van Guibert Sys gepubliceerd over de deelbaarheid van een getal door 7 en 13. Voor jongere lezers: destijds waren deelbaarheidscriteria gewone leerstof. Er waren immers nauwelijks digitale hulpmiddelen voor handen om hiermee een deelbaarheidstest uit te voeren. De inzending van Guibert Sys kreeg meteen een vervolg van zes bladzijden waarin didactische wenken werden gegeven over deze methode.
In dit millennium hebben de deelbaarheidscriteria bij gehele getallen sterk aan belang ingeboet. We kunnen in een oogwenk aflezen of een getal deelbaar is door 2 of door 3, of 4, of 5, of 6, of 9, of 10. De deelbaarheid door de getallen 8 en 25 vallen ook wel mee. Maar verder gaan we meestal niet. Nochtans zijn er nog heel wat meer interessante deelbaarheidscriteria. Wil je hier toch een stapje verder in zetten, geniet dan van de onderstaande bijdrage. We hebben ze lichtjes ingekort.
Kenmerk van deelbaarheid door 7 en 13
Wij kennen allemaal een kenmerk van deelbaarheid door de priemgetallen 2, 3, 5 en 11.
Veel minder bekend is het bestaan van het gemeenschappelijk kenmerk van deelbaarheid door de priemgetallen 7 en 13. Dit overigens eenvoudig kenmerk steunt op het feit dat zowel 7 als 13 delers zijn van \(10^3+1\), \(10^6-1\), \(10^9+1\), \(10^{12}-1\), … Maar de bruikbaarheid van dit kenmerk is gering omdat de methode strandt bij getallen van drie cijfers. In dit artikel wordt getracht hieraan te verhelpen.
Ziehier dus een bij mijn weten niet eerder uitgegeven bruikbaar kenmerk van deelbaarheid door 7 en 13.
Het getal bestaat uit 3 cijfers
Werkwijze:
Wij vermenigvuldigen het laatste cijfer met 9 en berekenen het verschil tussen het getal gevormd door de eerste twee cijfers en dit negenvoud.
Voorbeeld:
Is 533 deelbaar door 7 en/of door 13?
Berekening:
Besluit:
Het getal 533 is niet deelbaar door 7 maar wel door 13.
Verklaring:
\(\begin{align*}
\forall n \in \{ 7, 13 \}: \qquad n \textrm{ deelt } 533 \iff & n \textrm{ deelt } 533-3 \cdot 7 \cdot 13 \\
\iff & n \textrm{ deelt } 533-3 \cdot 91 \\
\iff & n \textrm{ deelt } 533-273 \\
\iff & n \textrm{ deelt } 260 \\
\iff & n \textrm{ deelt } 26\cdot 10 \\
\iff & n \textrm{ deelt } 26
\end{align*}\)
Het getal bestaat uit minstens 4 en hoogstens 6 cijfers
Werkwijze:
Wij berekenen het verschil tussen het getal gevormd door de drie laatste cijfers en het getal gevormd door de overige cijfers en wij vervolgen zoals bij getallen die uit drie cijfers bestaan.
Voorbeeld:
Is 38 893 deelbaar door 7 en/of door 13?
Berekening:
Besluit:
Het getal 38 893 is niet deelbaar door 7 en niet door 13.
Verklaring:
\(\begin{align*}
\forall n \in \{ 7, 13 \}: \qquad n \textrm{ deelt } 38~893 \iff & n \textrm{ deelt } 38~893-38 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \\
\iff & n \textrm{ deelt } 38~893-38 \cdot 1001 \\
\iff & n \textrm{ deelt } 38~893-38~038 \\
\iff & n \textrm{ deelt } 855 \\
\iff & n \textrm{ deelt } 40
\end{align*}\)
Het getal bestaat uit meer dan 6 cijfers
Werkwijze:
Wij trekken het getal gevormd door de laatste drie cijfers af van het getal gevormd door de overige cijfers tot het resultaat bestaat uit hoogstens 6 cijfers en we vervolgen zoals bij getallen die uit hoogstens 6 cijfers bestaan.
Voorbeeld:
Is 1 649 631 737 deelbaar door 7 en/of door 13.
Berekening:
Besluit:
Het getal 1 649 631 737 is niet deelbaar door 7 maar wel door 13?
Verklaring:
Bij vermindering met een passend veelvoud van 1001 en de daarop volgende deling door 1000 wordt de deelbaarheid door 7 en 13 niet aangetast.
Onder de loep
Redactioneel
Bibwijzer