In de richtingen met 3 uur wiskunde berekenen zesdejaarsleerlingen op mijn school oppervlaktes met bepaalde integralen. Dit integraalbegrip wordt intuïtief gefundeerd als een limietproces: het optellen van steeds smaller wordende rechthoekjes om de oppervlakte beter te benaderen. Vanuit dit inzicht kan de bepaling van het volume voor cilindersymmetrische figuren ook onderbouwd worden. We benaderen dit volume door de inhoud van steeds smaller wordende cilinders bij elkaar op te tellen. Zo kunnen we op een analoge manier de volgende integraalformule opstellen.

\( V = \int_a^b \pi \cdot (f(x))^2 \; dx \)                (1)

 

In de klas kunnen enkele eenvoudige berekeningen en voorbeelden niet ontbreken: het volume van een (afgeknotte) kegel of een bol bijvoorbeeld. Deze voorbeelden spelen zich evenwel af in die abstracte, wiskundige wereld. Geïnspireerd door een artikel uit Uitwiskeling 27/3, wou ik mijn leerlingen hands on laten werken met deze leerstof via een eigen onderzoek. In dit artikel licht ik dit onderzoek toe.

1. Het onderzoek

1.1 Doel

De leerlingen kregen de opdracht om een golvend rotatiesymmetrisch voorwerp (met zo min mogelijk rechte stukken) mee te nemen naar de les. Voorbeelden zijn: wijnflessen, bierglazen, drinkbussen, vazen… Het doel van het onderzoek is om zo goed mogelijk het volume van dit omwentelingslichaam uit het dagelijks leven te bepalen.

Dit roept onmiddellijk enkele uitdagingen op. De leerlingen zijn namelijk gewend van een eenvoudig functievoorschrift te vertrekken, de grenzen via de opgave te bepalen en de formule toe te passen om het volume te berekenen. Daar knelt meteen het schoentje: het functievoorschrift die de contourlijn beschrijft is (nog) niet gekend.

1.2 Contourlijn bepalen

Werken met een schuifmaat

Er zijn verschillende mogelijkheden om de contour van het voorwerp te bepalen. Voor dit onderzoek werd gekozen om met behulp van een schuifmaat op een tiental verschillende hoogtes de diameter te bepalen, zoals weergegeven in figuur 1 voor een iconisch colaglaasje.

Figuur 1 Onderzoeksopstelling

 

Figuur 2 Sfeerbeeld van hoe twee leerlingen uit het zesde jaar humane wetenschappen de contour van een flesje Orval bepalen.

 

Mathematiseren van de meetgegevens

De leerlingen realiseren zich dat we deze meetresultaten moeten omvormen om er een functievoorschrift uit te bepalen. We leggen daarom het lichaam plat en laten de \(x\)-as samenvallen met de symmetrieas. De \(y\)-as verschijnt op natuurlijke wijze als loodlijn op de symmetrieas. Aan de leerlingen volgt nu de vraag of ze de gemeten gegevens (hoogte en diameter) kunnen mathematiseren naar het punt \(P(x,y)\) uit figuur 3. Alle leerlingen zagen met behulp van de figuur in dat de hoogte overeenstemt met de \(x\)-waarde en de straal (halve diameter dus) overeenstemt met de \(y\)-waarde en dus functiewaarde.

Figuur 3 Mathematiseren van de meetgegevens

 

Via het rekenblad in GeoGebra, worden deze punten als puntenlijst geïmporteerd alsook snel en eenvoudig op een grafiek weergegeven. De leerlingen herkennen zo hopelijk de vorm van de contour in de weergeven punten.

 

Figuur 4 De meetgegevens worden ingeladen in GeoGebra via het rekenblad om vervolgens als punten op de grafiek te verschijnen.

 

Naar een voorschrift

De volgende uitdaging bestaat erin een voorschrift te vinden voor de contour aan de hand van de punten. Ook hier zijn er verschillende benaderingen mogelijk, bijvoorbeeld het verbinden van de punten via lijnstukken (wat aanleiding geeft tot het optellen van inhouden van afgeknotte kegels). Een interessantere optie vinden we echter in veeltermregressie. Lineaire regressie is een wijdverspreide techniek waar leerlingen (vaak onbewust) mee in contact komen, zoals in onderzoeksopdrachten fysica. Om de wet van Ohm experimenteel af te leiden, worden de stroom en de spanning bij een weerstand gemeten. De meetwaarden komen in een grafiek terecht waarna via software een rechte getekend wordt, de trendlijn, die zo dicht mogelijk bij de experimentele gegevens ligt. De software zoekt hierbij dus het voorschrift van een rechte \(y=ax+b\) die zo nauw mogelijk aansluit bij de gegeven punten. Dit principe is ideaal voor ons onderzoek, al moet dit eerst uitgebreid worden tot willekeurige veeltermfuncties \(y=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n\) met onbekende coëfficiënten.

Deze functionaliteit is te vinden in GeoGebra. In het commando VeeltermRegr(punten,graad) kun je de puntenlijst ingeven die geïmporteerd is via het rekenblad, net als de gewenste graad. De leerlingen proberen zo verschillende graden uit voor hun contourpunten en kiezen de veeltermregressie die het best aansluit bij de vorm van de contour. Vaak nemen leerlingen een hoge graad aangezien die dichter bij de punten aanleunt. Onterecht, want de vorm van vele flessen en glazen laat zich net beter beschrijven door een veeltermfunctie van de derde, vierde of vijfde graad. Zo kun je met een derdegraadsveeltermfunctie de vorm van het colaglaasje al heel mooi beschrijven, zoals geïllustreerd in figuur 5. Het heeft dan ook geen zin om de ””perfecte” veeltermfunctie door de \(n\) punten te tekenen, nl. deze van graad \(n-1\). Less is more.

 

Figuur 5 Een veeltermregressie van de derde graad geeft een mooi, golvend resultaat voor de contour.

 

Figuur 6 Een veeltermregressie van de negende graad is grilliger en sluit minder aan bij de vorm die het colaglaasje heeft.

 

 

1.3 Volume berekenen

Eens de contour gemodelleerd is via de meest geschikte veeltermregressie, kan de formule (1) gebruikt worden om het volume te bepalen. Hierbij moeten de leerlingen nog goed beseffen dat het assenstelsel zodanig gekozen is dat de ondergrens nul is en de bovengrens de hoogte van het voorwerp. Via een gepast GeoGebracommando rekenen de leerlingen dit volume uit. De uitkomst, een getal, moet vervolgens correct geïnterpreteerd worden. Aangezien alle afmetingen in centimeter ingegeven werden, zal het resultaat in kubieke centimeter berekend zijn. De leerlingen moeten het omzetten naar de eenheid liter. Dit volume werd vervolgens gevisualiseerd met dank aan een GeoGebra applet van S. Berteloot.

 

Figuur 7 Het voorschrift van de veeltermregressie en de grenzen worden in de GeoGebra-applet van S. Berteloot ingegeven waarna het omwentelingslichaam getekend wordt.

 

1.4 Vergelijking met rechtstreekse volumemeting

Naast deze integraalbenadering, bestaan er rechtstreekse methodes om het volume te bepalen. Zo kan men het voorwerp onderdompelen en het volume van de verplaatste vloeistof rechtstreeks bepalen. In dit onderzoek wordt een voor de hand liggende poging ondernomen, al zit er een addertje onder het gras waar de leerlingen oog voor moeten hebben. De leerlingen gaan namelijk voor een glas na hoeveel volume water er in een vol glas zit (met een maatbeker). Voor een fles lezen ze de inhoud af op het etiket.

De leerlingen merken zo een verschil: het rechtstreekse volume is kleiner. Dit zou hen uiteraard niet mogen verrassen: de leerlingen hebben de buiteninhoud berekend, terwijl ze de binneninhoud gemeten hebben. Het verschil tussen beide is afhankelijk van de glasdikte. Zo kwam een groepje een resultaat uit van 27,9 cl voor het totale volume via de integraalmethode versus 27,0 cl voor de inhoud van het colaglaasje.

2. Verslag

Om de verschillende stappen in dit onderzoek te documenteren, werd de leerlingen gevraagd een verslag te maken. Een wetenschappelijk verslag opstellen zijn deze leerlingen niet gewend, dus kregen ze ondersteuning in de vorm van een eenvoudig in te vullen sjabloon die bij elke uitgevoerde stap toelichting vraagt. Zo leren ze al doende hoe ze gestructureerd en gemotiveerd hun meetresultaten, denkstappen en bevindingen kunnen rapporteren.

3. Nabeschouwing

Aan het begin van het onderzoek werd de leerlingen gevraagd een cilindersymmetrisch lichaam mee te brengen met zo min mogelijk rechte stukken. Deze voorwaarde leek aanvankelijk willekeurig, maar is essentieel voor een geslaagde benadering op basis van de gekozen techniek. Veeltermfuncties worden gebruikt om de contour van het voorwerp te bepalen en veeltermfuncties (graad \(\ge 2\)) bevatten geen rechte stukken.

Dit onderzoek biedt een fundament waarbij, naargelang de interesses van de leerlingen of leraar, alternatieven of uitbreidingen uitgetest kunnen worden. Zo zouden de leerlingen ook de dikte van het colaglaasje kunnen meten en dit aftrekken van de straal om werkelijk de inhoud van het glaasje te berekenen, rekening houdend met de dikte van de bodem.

En wat vonden de leerlingen zelf? Zij vonden het leuk eens op een andere manier met de leerstof bezig te zijn en deze in een andere context toe te passen.

Bronnen

  • Deloddere, N., De Wilde, N., Paduwat Y., Op de Beeck, R., Tytgat, P. (2016). Delta Nova 5/6 Analyse deel 2 Leerwerkboek (3u). Plantyn.
  • Deprez, J., Op De Beeck, R., Van Den Broeck, L. (2011). Leren modelleren, Uitwiskeling 27/3.
  • Berteloot, S. Volume omwentelingslichaam. https://www.geogebra.org/m/ZfAb4qDA