Vergeten begrippen (7): Corrolaria en porismen

In deze aflevering van ‘Vergeten begrippen’ had ik een negental verwante begrippen met elkaar willen vergelijken: een axioma, een lemma, een stelling, een postulaat, een theorema, een propositie, een corrolarium, een conjectuur en een porisme. Helaas, de titellijn was te kort om ze alle negen aan te kondigen.

Het eerste begrip is algemeen bekend. Een axioma is een uitgangspunt van een theorie. Axioma’s hoeven dus niet bewezen te worden. Je neemt ze aan. Doe je dit niet, dan geloof je niet in deze theorie en dan vind je misschien wel aansluiting bij een verwante theorie. De Italiaanse wiskundige Peano (1858-1934) heeft zo de theorie van de natuurlijke getallen opgebouwd via de axioma’s ‘nul is een natuurlijk getal’, ‘elk natuurlijk getal heeft een opvolger die ook een natuurlijk getal is’, ‘het getal nul is niet de opvolger van een ander natuurlijk getal’, enz.

Een postulaat is volgens verschillende bronnen een synoniem voor een axioma. De bekendste postulaten zijn die uit de Elementen (Grieks: \(\Sigma \tau o \iota \chi \epsilon \tilde{\iota} \alpha\)-Stoicheia) van Euclides. Het vijfde in de reeks is het parallellenpostulaat: ‘door een punt buiten een rechte gaat er precies één rechte die evenwijdig is met de gegeven rechte’. Sommige bronnen maken subtiel onderscheid tussen axioma’s en postulaten. Zo lees ik in het ‘Leerboek der meetkunde’ van Theo Gos uit 1947 dat ‘een axioma een grondeigenschap is waarvoor men geen bewijs hoeft aan te voeren’ en dat ‘een postulaat een grondeigenschap is waarvoor men geen bewijs kan aanvoeren’. Het verschil tussen deze definities gaat aan me voorbij.

Stellingen of theorema’s zijn ongeveer de enige benamingen die nog in onze handboeken voorkomen. Stellingen moeten bewezen worden door te steunen op andere stellingen of op axioma’s. Met voorsprong de bekendste stelling uit de meetkunde met de grootste variatie aan bewijsvoering is die van Pythagoras over de zijden van een rechthoekige driehoek. Een lemma is een hulpstelling. In het profane taalgebruik zijn lemma’s of lemmata gewoon trefwoorden. Je vindt ze vaak achteraan in een trefwoordenregister van een encyclopedie.

Voor een conjectuur (Latijn: coniectura – gissing, vermoeden) bestaat er ook geen bewijs. Een uitspraak krijgt het statuut van conjectuur als men er niet zeker van is dat deze eigenschap waar of vals is. Een bekend vermoeden is dat van Goldbach: ‘elk even getal groter dan twee kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen.’ Soms verandert een conjectuur in een stelling. In 1994 bewees Andrew Wiles de grote stelling van Fermat, waarvan Fermat zelf het bewijs niet had kunnen uitschrijven omdat, helaas, de kantlijn van zijn naslagwerk (de Arithmetica van Diophantus) te smal was. Tussen 1637 en 1994 was deze stelling slechts een conjectuur.

Resten nog: porisme, propositie en corrolarium. Een porisme (Griekse stam: \(\pi o \rho\) – aanbrengen) is een meetkundig vraagstuk waarvan de oplossing niet volledig is uitgewerkt, bijvoorbeeld het porisme van Poncelet (1788-1867). Dit porisme zegt: ‘Als een grote cirkel een kleine omvat zo dat er een driehoek bestaat die ingeschreven is in de eerste en omgeschreven is aan de tweede cirkel, dan bestaan er oneindig veel van deze driehoeken.

Figuur 1 Het porisme van Poncelet

In tegenstelling tot een lemma is een corollarium eerder een (minder belangrijk) gevolg van een stelling. Het is een toegiftje, een geschenkje. Dit woord is verwant met het Latijns corolla verkleinwoord van corona, wat als kroontje, kransje of geschenkje vertaald wordt.

De term propositie blijft nog over. Helaas, de uitleg voor dit begrip is langer dan de plaats die me op dit blad toegemeten is.