Enkele jaren geleden gaf een leerling op een taak over logaritmische vergelijkingen het volgende antwoord bij de opgave \(\log_2(10-x^2)+4\log_{16}(x+1)=\log_2 x\cdot \log_x 18\):

Aangezien de bestaansvoorwaarden de oplossingenverzameling al zeker beperken tot \(]0,\sqrt{10}[\), zijn er nog drie mogelijke oplossingen: \(1, 2\) of \(3\). Invullen in beide leden houdt enkel 2 als resultaat over. Bijgevolg \(V = \{2\}\).

Ik was helemaal met verstomming geslagen. Deze leerling had eigenhandig de moeilijkste vergelijking van de taak gereduceerd tot een simpele invuloefening die ook nog het juiste antwoord opleverde. Het is zo’n opgave waarop je al je duivels kunt ontbinden: eentje met verschillende types bestaansvoorwaarden, substitutie en finaal een oneigenlijke oplossing die je zeker niet mag vergeten te ‘schrappen’ uit de oplossingenverzameling.

Uiteraard slaat de oplossingsmethode van de leerling nergens op. Ik heb hem gewezen op het feit dat \(]0,\sqrt{10}[\) een interval is met oneindig veel elementen, dat er geen enkele reden is om \(1\), \(2\) en \(3\) specialere eigenschappen toe te dichten dan alle andere elementen uit het interval en dat hij geenszins gerust kan slapen over het feit dat hij nu alle oplossingen gevonden heeft.
Toch zette zijn antwoord mij ook aan het denken: nog nooit werd ik zo expliciet geconfronteerd met de beperkingen van mijn stiel, waarbij we veel tijd besteden aan ‘kunstmatige’ oefeningen, die wonder-boven-wonder op te lossen zijn met enkele handige oplossingstrucs en per definitie ‘mooi’ uitkomen. Wie herkent de vraag niet van leerlingen of een oplossing wel kan kloppen want ‘het komt niet op een mooi getal uit?’

Het zijn allemaal symptomen van wat ik stilaan ‘schoolwiskunde’ ben gaan noemen: het is het soort wiskunde dat leeft in cursussen en handboeken, gebrouwen door wiskundeleraren door de eeuwen heen en duchtig van elkaar afgeschreven. Maar in de natuur zul je ze niet treffen. Ooit al eens een vergelijking van de vorm \(4^x-5\cdot 2^x + 6 = 0\) gespot bij een modelleeropdracht? Of een limiet voor \(x \to a\) van een veeltermbreuk waarbij teller en noemer zich toch wel heel toevallig door \(x-a\) laten delen? Of een omstandige bespreking van een \(3\times3\)-stelsel met 2 parameters? Of anno 2020 nog de nood gevoeld om de noemer wortelvrij te maken omdat je anders de exacte waarde niet opgezocht krijgt in je tabellenboekje tot vijf decimalen? Laatst had ik zelfs een stagiair die leerlingen liet opschrijven dat de vergelijking \(x^3-x+1=0\) geen oplossingen had, daar er geen gehele nulpunten konden gevonden worden om de methode van Horner mee op gang te trekken. Heel wat van deze zogenaamde vaardigheden zijn intellectueel wel hoogstaand, maar zijn niet meer zo authentiek en dragen weinig bij tot wiskundige maturiteit, laat staan motivatie van leerlingen. Sommige sluiten nauwer aan bij ‘freaky’ skills zoals het oplossen van een Rubikskubus, waardoor het bezwaarlijk een eerste prioriteit kan zijn in het secundair onderwijs. Het met de hand kunnen uitrekenen van \(\int\frac{1}{2\sin x + 3\cos x + 4}\mathrm{d}x\) is even nuttig als het manueel kunnen uitrekenen van \(\sqrt{7}\) tot op tien cijfers na de komma. Waarom legden we ons ondertussen neer bij het laatste en verdedigen we nog steeds het eerste?

Als je erover nadenkt, steken we veel lestijd in de hoed van de schoolwiskunde, die aan elkaar hangt van het kiezen van het juiste trucje uit de algebraïsche trukendoos. Dat genereert een soort algemeen aanvaarde canon van ‘mooie’ oefeningen, die je in alle handboeken in binnen- en buitenland terugvindt. Het is werkelijk onwaarschijnlijk hoe gelijkaardig oefeningenreeksen van de meer rekentechnische soort zijn eens je er op begint te letten. Het is overigens niet enkel het secundair onderwijs dat kreunt van de schoolwiskunde, ook elke inleidende wiskundecursus in het hoger onderwijs staat er bol van. Echt verbazingwekkend is dat ook niet: veel van ons curriculum stamt uit de vorige eeuw, een tijdperk waarin de wiskunde de kracht van de computer nog moest ontdekken.

Indien je nu ongemakkelijk op je stoel zit te schuiven omdat je – net als ik destijds na het lezen van het antwoord van mijn leerling – bijna in een identiteitscrisis verzeild raakt en alles wat je al jaren doet in twijfel trekt: dat was een beetje de bedoeling. De vraag is immers niet of we alle ‘schoolwiskunde’ uit onze lessen moeten bannen, dan wel hoe we er op de juiste manier mee kunnen omgaan.

Eerst en vooral: een deel van deze schoolwiskunde is onvermijdelijk. Algebraïsche vaardigheden moeten nu eenmaal ergens gekweekt worden en laten oefeningen die ‘mooi’ uitkomen, nu net de ideale vertrekpunten om deze vaardigheden te trainen. Ingewikkelde kommagetallen in de tussenstappen staan op dat moment een soepel leerproces in de weg. Toch mogen we niet blind blijven voor ‘echte’, realistische problemen en oplossingsmethodes. Wie het dan al heeft over pakweg de methode van Horner, legt best de conceptuele link met de Euclidische deling en moet zeker iets zeggen over de beperkingen: het werkt enkel goed met gehele (of eventueel rationale) nulpunten en coëfficiënten. Confronteer dus zeker leerlingen met veeltermfuncties die wel nulpunten hebben, maar enkel met ICT zijn op te lossen, uiteraard gekoppeld aan de grafische interpratie door het plotten van de overeenkomstige grafieken.

Naast het mixen van schoolwiskunde met meer realistische opgaven die niet volgens het boekje kunnen worden opgelost, moeten we ook afstand durven nemen van al te potsierlijke technieken die niet zo vormend zijn voor de algebraïsche gereedschapskist van leerlingen. Persoonlijk denk ik dan aan heilige huisjes zoals een overdreven aandacht voor ontbinden in factoren in de tweede graad of allerlei ‘exotische’ vergelijkingen en integratietechnieken in de derde graad. Als hierdoor ruimte vrij komt om uitdagende problemen op te lossen of te werken aan een diepgaander, conceptueel inzicht, bijvoorbeeld in meetkunde, logica of bewijsvoeringen, dan is het de schrapping meer dan waard. In de 21ste eeuw lijkt mij dit toch veeleer de toekomst voor het wiskundeonderwijs, veel meer dan een te enge focus op schoolwiskunde, die onvermijdelijk toch een stukje de wiskunde van gisteren wordt.

Filip Moons, namens de redactie

Deel dit artikel

Ik ben Filip Moons, 29 jaar en doctoraatstudent binnen de didactiek wiskunde aan de Universiteit Antwerpen. Tot voor kort leerkracht wiskunde op het Hoofdstedelijk Atheneum Karel Buls te Brussel. Bij Uitwiskeling zetel ik in de redactie, maar mijn belangrijkste taak is ervoor zorgen dat we online in de lucht blijven. Ik zetel ook in het bestuur van de Vlaamse Vereniging voor Wiskundeleraars, die ik ook vertegenwoordig in de ontwikkelcommissies van de eindtermen wiskunde.

Website Reacties

  1. bart vanderbeke

    Filip,
    Wat je neerschrijft, lijkt heel hard op een van de elementen van de aanpak van Jo Boaler.
    Ze hamert ook op werken op inzicht eerder dan het inprenten van procedures.
    Van haar boeken heeft Mathematical Mindsets meest concreet aan hoe je leukere én effectievere wiskundeonderwijs in de praktijk kunt brengen.
    Conrad Wolfram (TED: Conrad Wolfram: Teaching kids real math with computers) legt ook de nadruk op werken op inzicht. De procedurele dingen kun je tegenwoordig beter door een computer laten doen.

    • mm Filip Moons

      Best Bart,
      Dat klopt inderdaad helemaal!

      Ik wil het anderzijds ook wel een beetje nuanceren: ik ben er steevast van overtuigd dat we procedurele vlotheid moeten blijven nastreven voor basisvaardigheden (rekenen met lettervormen, vergelijkingen die je veel tegenkomt, basis integratietechnieken…). Op dat vlak ben ik wel traditioneler als Jo Boaler, die toch iets radicaler is. Het is namelijk één van de strengen van wiskundige bekwaamheid (Kilpatrick, Adding it up! , 2001) en zonder procedurele vlotheid is er in je werkgeheugen ook geen plaats om complexere problemen aan te pakken, omdat er teveel energie verloren gaat aan het terugvinden van de procedures. Zo zie ik bijvoorbeeld nog altijd de enorm vormende waarde in van “Goniometrische identiteitsbewijzen”, want hoe wereldvreemd dat stukje leerstof ook is, het legt wel een prachtige basis voor formulemanipulatie, een vaardigheid die in alle wetenschappen nodig is en dus ergens getraind moet worden. Mijn oproep is vooral dat we niet mogen overdrijven en dat wat vroeger verstaan werd onder ‘algebraïsche basisvaardigheden’, niet meer allemaal zo relevant meer is anno 2020 en we dus moeten durven loslaten.

      Het is een zeer moeilijke evenwichtsoefening, eentje die we ook in de eindtermencommissie zo goed mogelijk hebben proberen doen, maar die ongetwijfeld nog verder zal evolueren de komende decennia.

      In elk geval bedankt voor je fijne reactie!

      Filip

Deel reactie