regel van Cramer

Hoe een meetkundig bewijs met oppervlakten inspiratie gaf voor een algebraïsch bewijs In het spinnenweb in een vorig nummer breide Luc Van den Broeck (2025) een vervolg aan de loep over determinanten (Roelens, Stichelbaut en Van den Broeck, 2024). Hij werkte een mooi meetkundig bewijs uit voor de regel van Cramer in het geval van

Een jaar geleden (zie UW 40/4) namen we het onderwerp determinanten onder de loep. Door de vernieuwde leerplannen veranderde dit item in de sterke wiskunderichtingen van optioneel naar verplicht. We werkten drie sporen uit om de determinanten in de klas te introduceren. Bij het eerste spoor vertrokken we vanuit vierkante, homogene stelsels. De voorwaarde waaronder zo'n stelsel meer dan alleen de nuloplossing heeft, is dat de determinant van de coëfficiëntenmatrix van dit stelsel gelijk aan nul is. Bij deze benadering lieten we determinanten zoveel mogelijk door software berekenen. Na enkele lessen al kwamen we uit bij praktische toepassingen zoals de determinantvergelijking…

Inleiding Er bestaan veel bewijzen voor de cosinusregel. De meeste van die bewijzen starten met de constructie van een hoogtelijn in de driehoek en gebruiken vervolgens de stelling van Pythagoras in de bekomen rechthoekige driehoeken. Jaren geleden zag ik in het handboek Matrices en Stelsels van Delta een oefening die liet zien hoe de cosinusregel in een driehoek kan bekomen worden zonder de stelling van Pythagoras. De oefening maakte daarvoor gebruik van de regel van Cramer voor lineaire stelsels. Ik vond dit zo een mooie (en onverwachte) toepassing van die regel van Cramer dat dit een vaste vraag geworden is…

Een toepassing op determinanten Introductie In de loep van Uitwiskeling 40/4 werden determinanten uitvoerig besproken. Een van de toepassingen die daarbij ter sprake kwam, was hoe een parabool door drie punten [latex](x_1, y_1)[/latex], [latex](x_2, y_2)[/latex] en [latex](x_3, y_3)[/latex] beschreven kon worden via de volgende determinantvergelijking We wisselden hier kolommen 1 en 3 om t.o.v. het originele artikel, maar dat verandert enkel het teken van de determinant zodat ook bovenstaande vergelijking geldt. Een compleet analoge redenering laat toe om voor [latex]n[/latex] punten [latex](x_1, y_1), \ldots, (x_n,y_n)[/latex] een veelterm van graad ten hoogste [latex]n-1[/latex] te vinden waarvan de grafiek door deze [latex]n[/latex]…

In veel studierichtingen zijn de determinanten terug van weggeweest. Deze loep speelt in op deze nieuwe leerplansituatie. We belichten twee sporen die leiden naar het determinantbegrip: de oplosbaarheid van stelsels en de inverteerbaarheid van matrices. Het eerste spoor is bedoeld voor wie het kort wil houden. Het tweede spoor biedt meer diepgang en gaat ook in op eigenschappen, de regel van Cramer en eigenwaarden. Tot slot is er een paragraaf voor wie zich afvraagt hoe je determinanten meetkundig kunt voorstellen en of je eigenschappen van determinanten meetkundig kunt verklaren.