Modernisering SO

Een klein beetje grafentheorie, een sterk gevolg: het lemma van Sperner

Het lemma van Sperner is een resultaat dat de kracht van de grafentheorie als didactisch onderwerp opnieuw laat zien: met minimale kennis van grafen leid je een bewijs af met een diep resultaat. Het lemma kan bewezen worden met sterkere leerlingen in de 2 of 3 graad, die niet terugdeinzen voor een streepje abstractie. Het

[ Lees meer ]

Instappen voor grafentheorie

1. Inleiding De nieuwe eindtermen voor de tweede graad gingen in op 1 september 2021. Daarin werd ook een deeltje grafentheorie opgenomen voor de doorstroomfinaliteit. Er werd wel gestipuleerd dat dit onderwerp gerealiseerd dient te worden met een context. In dit spinnenwebartikel bespreek ik daarom twee contexten om grafentheorie te behandelen, die ook werken voor leerlingen

[ Lees meer ]

bOOleO, een spel rond logische poorten voor de tweede graad

De nieuwe eindterm rond propositielogica in de 2[latex]^\text{e}[/latex] graad bevat de koppeling met de logische poorten. In de loep Logica in de tweede graad (UW 37/3) deden we al uit de doeken hoe je die eindterm kleur kunt geven in je klaspraktijk. Na wat grasduinen in de literatuur, kwam ik het Amerikaanse kaartspel bOOleO tegen. bOOleO is een pittig en snel strategiespel gestoeld op Booleaanse logica. Elke speler racet om zijn logische-poorten-piramide sneller te vervolledigen dan zijn tegenstander. De gevreesde NOT-kaart kan de overwinningskansen helemaal doen keren. Na wat mailtjes met de oorspronkelijke bedenkers, verkregen we de toestemming om het…

[ Lees meer ]

Spreidingsdiagrammen en trendlijnen in de 2e graad

Een nieuwe eindterm voor de tweede graad doorstroomfinaliteit gaat over het grafisch voorstellen van bivariate statistische gegevens onder de vorm van een spreidingsdiagram en het beschrijven van het verband tussen de twee variabelen met behulp van een trendlijn. In deze loep laten we zien hoe je deze leerinhouden in de klas kunt behandelen. Het is een onderwerp dat op de grens zit tussen statistiek en functieleer en het vormt een uitstekende gelegenheid om in te gaan op het gebruik van functies als wiskundig model voor fenomenen uit de realiteit. We leggen expliciet de band met het gebruik van spreidingsdiagrammen en trendlijnen in wetenschapsvakken en in de media. We gaan ook in op de vaak voorkomende misvatting dat samenhang tussen twee variabelen automatisch een oorzakelijk verband met zich mee zou brengen.

[ Lees meer ]

Lineair programmeren

Optimalisatieproblemen oplossen met behulp van lineaire programmering, is een nieuwe eindterm. Het is een onderdeel van operationeel onderzoek, typische wiskunde van de handelsingenieur. Een interessant aspect van lineaire programmering is de combinatie van het visuele (het werken op de grafiek) en het algebraïsche. Wat je doet met de ongelijkheden en de winst- of kostenfunctie, of wat je in de matrices doet bij de simplexmethode, kun je grafisch interpreteren en de inspiratie voor wat je algebraïsch doet komt van het grafische. Dat over en weer gaan leidt tot inzicht. Bovendien geeft het een inkijk in enkele echte toepassingen van ongelijkheden. Deze combinatie van het visuele en het algebraïsche vormt de rode draad doorheen deze loep. Bij het grafisch oplossen voorzien we enkele uitbreidingsoefeningen, waarin gebruik gemaakt wordt van parameters.

[ Lees meer ]

Wordt Vlaanderen minder laaggecijferd door de basisgeletterdheid wiskunde?

We schrijven 1988 wanneer de Amerikaanse wiskundige John Allen Paulos zijn boek ‘Innumeracy, mathematical illiteracy and its consequences’ op de wereld loslaat. In het boek betoogt Paulos dat ongecijferdheid een groot probleem vormt voor een veel te groot aantal mensen bij wie het verder niet aan gezond verstand ontbreekt. Voorbeelden zoals mensen die uit het

[ Lees meer ]

Logica in de tweede graad

Kennis van logica kan leerlingen helpen om bewijzen beter te doorgronden, het nut van tegenvoorbeelden in te zien… Daarnaast vormt logica, op het kruispunt van wiskunde en filosofie, een stukje algemene cultuur. Door de opkomst van de informatica heeft de logica nog aan belang gewonnen. De nieuwe eindtermen en leerplannen voorzien een leerlijn logica, met in de tweede graad de propositielogica met o.a. waarheidstabellen. In deze loep willen we inspiratie bieden voor deze lessen. We gaan in op het verschil tussen de taal van de logica en de dagelijkse omgangstaal. We behandelen waarheidstabellen en passen die toe op schakelingen en logische poorten. Het bewijs uit het ongerijmde geven we speciale aandacht. In de klassieke logica geldt het ‘uitgesloten derde’: een uitspraak kan enkel waar of onwaar zijn. Op het einde van deze loep kijken we even over het muurtje naar een andere soort logica, driewaardige logica.

[ Lees meer ]

Het kortstepad-algoritme van Dijkstra

Luka Hartman, Mathias Tilkin en Parfaite Zikpi zijn laatstejaarsstudenten educatieve bachelor secundair onderwijs aan de hogeschool UCLL (Diepenbeek). Dit artikel is een ingekorte versie van een workshop voor medestudenten en collega’s die zij ontwierpen in het kader van hun afstudeerproject onder begeleiding van Michel Roelens. In de workshop, die zowel online als fysiek doorging, gebruikten

[ Lees meer ]

Redeneren en puzzelen met grafen

Een graaf bestaat uit ‘knopen’ die wel of niet verbonden zijn door ‘bogen’. De grafentheorie, ontstaan met de bruggen van Koningsbergen in de 18de eeuw, is nu overal aanwezig als wiskundig model voor het internet, sociale netwerken, routeplanners... en doet binnenkort ook haar intrede in de eindtermen wiskunde voor de tweede graad. We laten in deze loep zien hoe leerlingen met grafen (zullen) kunnen redeneren, puzzelen en bewijzen zonder veel voorkennis of algebraïsche hindernissen. Ze leren ook diverse situaties modelleren in een zelfde taal van knopen en bogen. Bij de meeste ‘echte’ toepassingen gaat het om reusachtige grafen en zijn er systematische algoritmen nodig om hierin bv. kortste wegen te vinden, of om alle knopen efficiënt met elkaar te verbinden. Exemplarisch laten we de leerlingen kennis maken met het algoritmisch denken dat hiervoor nodig is.

[ Lees meer ]

Redeneren en bewijzen in de eerste graad

We zouden graag hebben dat leerlingen het woord 'bewijs' associëren met een kans om te redeneren, om te groeien in inzicht. Het leren verwoorden van (eigen) redeneringen en het inspelen op de nieuwsgierigheid naar het waarom, mogen volgens ons de meeste aandacht krijgen. Daarom is het belangrijk om niet alleen bewijzen als theorie aan te bieden, maar ook genoeg bewijsoefeningen. We geven voorbeelden uit de getallenleer, bewijzen met hoeken, met congruente driehoeken en over en met oppervlakte;

[ Lees meer ]