Uitgewerkte voorbeelden in de wiskundeles: feedback

In UW 40/4 schreef ik een bibwijzer over het boek Teaching Math with Examples, van Michael Pershan. Ik kondigde in die bespreking aan dat ik mijn probeersels uit de les zou delen. Dat gebeurde een eerste keer in UW 41/1, met voorbeelden uit een les met herhalingsoefeningen rond rekenvaardigheden. In dit kort artikel toon ik hoe ik uitgewerkte voorbeelden soms inzet als vorm van feedback.

Goede feedback geven bij toetsen is moeilijk. Feedback werkt maar als leerlingen er ook echt iets mee doen en dat gebeurt niet altijd. Daarom schrijf ik de laatste tijd minder individuele commentaar bij toetsen en geef ik feedback vaak klassikaal. Ik bespreek dan bijvoorbeeld in een onderwijsleergesprek de meest gemaakte fouten. Met een documentcamera toon ik correct uitgewerkte oplossingen van leerlingen. Daar stel ik vragen over of ik vergelijk verschillende oplossingen. Sinds ik het boekje van Pershan las, geef ik klassikale feedback soms ook aan de hand van uitgewerkte voorbeelden.

Hoe gaat dat concreet? Bij het corrigeren van de toets, geef ik slechts heel summier feedback: ik zet een kruisje bij een fout. Als ik alles verbeterd heb, distilleer ik uit het werk van mijn leerlingen één of twee types van oefeningen die vaak fout werden gemaakt. Hiervan maak ik dan korte uitgewerkte voorbeelden. Dit zijn andere opgaven dan de oefeningen uit de toets en ik stel er gericht denkvragen bij. Vooraleer ik de toets terug uitdeel, moeten de leerlingen die uitgewerkte voorbeelden maken. Soms laat ik dat in de klas doen, meestal is het huiswerk dat we in de volgende les kort bespreken. Pas na deze activiteit deel ik de toetsen terug uit en dan moeten de leerlingen zelf hun fouten zoeken en die verbeteren (in de klas of thuis). Deze aanpak werkt vooral bij toetsen met type-oefeningen en procedures. Het is geen mirakeloplossing, maar het heeft wel een positief effect. Ik zie minder vaak dezelfde fouten terugkomen bij het verbeteren van toetsen.

Hieronder zie je een voorbeeld van zulke uitgewerkte oefeningen bij de routines voor het oplossen van willekeurige driehoeken. Bij het bepalen van een hoek met de cosinusregel worden vaak rekenfouten gemaakt en bij oefeningen met twee oplossingen, wordt die tweede oplossing dikwijls vergeten. De uitgewerkte voorbeelden vestigen hier expliciet aandacht op.

LESACTIVITEIT: Oplossen van willekeurige driehoeken

We gebruiken een driehoek \(ABC\) met de notaties zoals in de onderstaande figuur:

Figuur 1 Oplossen van willekeurige driehoeken

1. In driehoek \(ABC\) geldt: \(a=6\), \(b=8\) en \(c=5\). Bereken de hoek \(\beta\).

Hieronder zie je deze opgave fout opgelost. Neem dit foute voorbeeld eerst door en beantwoord dan de vragen onder de figuur.

(a.) Welke formule werd in de eerste lijn toegepast?

(b.) In deze oplossing wordt een rekenfout gemaakt. Zoek de fout door het rekenwerk stap voor stap opnieuw te doen. Verbeter door vanaf de plaats van de fout correct verder door te rekenen.

(c.) Bereken nu op dezelfde manier de hoek \(\gamma\).

2. In driehoek \(ABC\) geldt: \(a=8\), \(b=12\) en \(\alpha=40^\circ\). Bereken \(\beta\). Hieronder zie je deze oefening correct opgelost (weliswaar met een afgerond tussenresultaat). Neem de berekeningen door en beantwoord de vragen onder de figuur.

(a.) Geef de formule die hier in de eerste lijn wordt toegepast.

(b.) De eerste waarde voor \(\beta\) vind je met je rekentoestel. Leg uit hoe je de tweede vindt.

(c.) Leg uit waarom de tweede oplossing mogelijk is.

(d.) Los de driehoeken verder op door voor elke waarde van \(\beta\) de bijhorende hoek \(\gamma\) en de zijde \(c\) te berekenen.

(e.) In driehoek \(ABC\) geldt \(b=7\), \(c=11\) en \(\beta=32^\circ\). Net als bij het uitgewerkte voorbeeld zijn er twee zijden en een aanliggende hoek gegeven. Is dat een congruentiekenmerk van driehoeken? Hoeveel mogelijke oplossingen zijn er dan?

(f.) Bereken de mogelijke waarde(n) van \(\gamma \) voor de driehoek uit (e).

Bronnen

• Pershan, M. (2021). Teaching Math with Examples. John Catt Educational Ltd.
• Vanlommel, E. (2024). Teaching Math with Examples. Uitwiskeling 40/4.
• Vanlommel, E. (2025). Uitgewerkte voorbeelden in de wiskundeles Uitwiskeling 41/1.