Kwadratuur van de cirkel.

Paul Levrie, Pythagoras 4 jaargang 65

Mocht je dit tweemaandelijkse vakblad nog niet kennen, hieronder een citaat van hun website.

Pythagoras is een wiskundetijdschrift en stelt zich ten doel jongeren kennis te laten maken met de leuke en uitdagende kanten van wiskunde. Pythagoras richt zich tot leerlingen van vwo en havo en alle anderen die jong van geest zijn. (nvdr: de Nederlandse studieniveaus vwo en havo komen overeen met onze tweede en derde graad van de doorstroming.)

Pythagoras richt zich op leerlingen maar wil ook een inspiratiebron voor leerkrachten zijn. Uitgeschreven lesactiviteiten zoals in het tijdschrift dat je nu leest, vind je echter niet in Pythagoras. Maar Pythagoras is wel doorspekt van toegankelijke onderzoeksartikels met denkopgaven voor leerlingen (en voor leerkrachten). De oplossingen van deze denkvragen (en ook de eventuele bijbehorende Python-programma’s) worden ter beschikking gesteld via de website.

Pythagoras 65/4 is net in mijn brievenbus gevallen. Bij het screenen van dit nummer ontdek ik enkele interessante onderzoeksartikels: In het kwadraat gaat over sommen en kwadraten van natuurlijke getallen die aangebracht worden met legoconstructies, Skolemrijen gaat over speciale rijen van natuurlijke getallen waarbij elk getal \(i\) twee keer voorkomt en de afstand tussen deze getallen \(i\) is, Numerieke nulpunten gaat over de benaderingen van nulpunten van continue functies …

Bij een tweede screening ontdekte ik een artikel met bijna geen tekst. Net zoals bij een sangaku moet de redenering door de toeschouwer gemaakt worden. Hieronder schrijf ik uit wat er me door het hoofd schoot bij het bekijken van deze eigentijdse sangaku.

Het tapijt van Sierpinski

Wat ik meende te zien in de figuur op bladzijde 19 van Pythagoras 65/4 was het volgende (Figuur 1).

Een vierkant wordt opgedeeld in 9 congruente vierkanten waarvan het middelste gewist wordt. Vervolgens wordt elk van de overblijvende vierkanten in 9 congruente vierkanten opgedeeld, waarvan telkens het middelste gewist wordt. En zo gaat het eindeloos door. Het eindresultaat dat nooit helemaal bereikt wordt (tenzij in de limiet) is een fractaal die luistert naar de naam tapijt van Sierpinski. Als je op een deeltje van de fractaal inzoomt dan vind je de hele figuur terug.

Het tapijt van Sierpinski kwam meermaals aan bod in mijn lessen, meestal in het teken van rijen en reeksen. In de limiet is de omtrek van deze grillige figuur oneindig. De oppervlakte is 0. Stel de oppervlakte van het oorspronkelijke vierkant gelijk aan 1. Dan kan de oppervlakte van de fractaal berekend worden via de oneindige som

\(1-\frac{1}{9} \cdot 1 – \frac{1}{9^2} \cdot 8 – \frac{1}{9^3} \cdot 8^2 – \cdots\)

of via het oneindige product

\(1 \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{8}{9} \cdots.\)

Figuur 1 – Het tapijt van Sierpinski

De oneindige som wordt berekend via de formule voor de som van de termen van een meetkundige rij. Met het oneindige product echter kost het veel minder moeite om in te zien dat er op het einde niets meer overblijft van de oppervlakte van het oorspronkelijke groene vierkant.

Maar dat was niet wat er echt te zien was in de figuur van bladzijde 19 van Pythagoras 65/4. Het ging hier om een modernere versie van het Sierpinskitapijt.

Het nieuwe tapijt van Sierpinski

Figuur2 – Het nieuwe tapijt van Sierpinski

Om het nieuwe tapijt van Sierpinski te construeren, begint Paul Levrie zoals hierboven. Het startvierkant krijgt oppervlakte 4. Het wordt in 9 congruente delen verdeeld waarvan het middelste verwijderd wordt. De 8 overblijvende vierkanten ondergaan een gelijkaardige ingreep. Ze worden elk in 25 congruente vierkanten verdeeld waarvan het middelste weggelaten wordt. En vervolgens wordt elk overblijvend vierkant in 49 verdeeld, daarna in 81 enz. De uitgeknipte gaten zijn dus heel wat kleiner dan bij het oorspronkelijke tapijt van Sierpinski.

Wat overblijft na het maken van de gaten is echter geen fractaal meer. Je kunt niet op een deeltje ervan inzoomen om opnieuw het geheel te krijgen. Inzoomen op een deelvierkant geeft altijd een figuur met een kleinere verhouding tussen de zijde van het centrale gat en de zijde van het vierkant. Omdat de gaten die weggeknipt worden na de eerste stap kleiner zijn dan bij het oorspronkelijke tapijt van Sierpinski, zou het wel eens kunnen dat er op het einde wel wat meer van het groene tapijt overblijft dan helemaal niets. Dat onderzoeken we hieronder.

De kwadratuur van de cirkel

Om de oppervlakte te berekenen van het nieuwe tapijt, geven we opnieuw de voorkeur aan een oneindig product. Voor de eerste benadering vermenigvuldigen we de oppervlakte van het vierkante tapijt met \(\frac{8}{9}\). Deze factor hadden we ook al bij het oude tapijt. Voor de volgende benadering vermenigvuldigen we met \(\frac{24}{25}\). We knippen immers in elk deelvierkant \(\frac{1}{25}\) weg. Vervolgens vermenigvuldigen we met \(\frac{48}{49}\). Enz. De oppervlakte wordt uiteindelijk

\( 4 \cdot \frac{3^2-1}{3^2} \cdot \frac{5^2-1}{5^2} \cdot \frac{7^2-1}{7^2} \cdot \ldots \cdot \frac{(2i+1)^2-1}{(2i+1)^2} \cdot \dots \)

De tellers schrijven we uit via het merkwaardige product \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\):

\( 4 \cdot \frac{2\cdot 4}{3 \cdot 3} \cdot \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 5} \cdot \frac{6 \cdot 8}{7 \cdot 7} \cdot \ldots \cdot \frac{2i \cdot (2i+2)}{(2i+1) \cdot (2i+1)} \cdot \dots \)

en door de factor \(4\) als \(2\cdot 2\) te schrijven, vinden we:

\( 2 \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{2\cdot 4}{3 \cdot 3} \cdot \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 5} \cdot \frac{6 \cdot 8}{7 \cdot 7} \cdot \ldots \cdot \frac{2i \cdot (2i+2)}{(2i+1) \cdot (2i+1)} \cdot \dots. \)

Op de factor  na is deze formule identiek aan de formule die John Wallis in 1656 ontdekte als benadering voor \(\frac{\pi}{2}\). De formule is heel herkenbaar: als je de getallen 1-2-2-3-3-4-4-5-5-… volgt in de formule, krijg je een kanteelvormig pad.

De oppervlakte van het nieuwe tapijt is dus gelijk aan \(\pi\) of aan de oppervlakte van een cirkel met straal 1. Eeuwen na de Griekse periode heeft het probleem van de kwadratuur van de cirkel alsnog een oplossing gekregen door de ruimere interpretatie van de ´constructie met passer en liniaal`.