Hoe verbeteren wiskundeleraren?

Verschillende wegen naar bijna hetzelfde eindcijfer

Filip Moons & Corwin Van Schendel

Als dit nummer van Uitwiskeling verschijnt, zitten heel wat wiskundeleraren midden in of aan het einde van de examenperiode. Dat betekent: examens verbeteren, verbetersleutels, twijfelgevallen wegen en punten op Smartschool invullen. Precies dat alledaagse, maar verrassend complexe verbeterwerk namen we in een pas gepubliceerd wetenschappelijk onderzoek onder de loep (Moons & van Schendel, 2026).

Iedereen herkent het wel: de ene leerling heeft een vergelijking bijna correct opgelost, maar ergens onderweg een minteken verloren. De tweede leerling heeft de juiste uitkomst, maar de redenering is rommelig. Nog een andere leerling schrijft nauwelijks iets op, maar eindigt wonder boven wonder met het juiste antwoord.

Bij het verbeteren duiken dan allerlei kleine twijfelvragen op. Hoeveel punten trek je af voor dat ene tekenfoutje? Beloon je een goede tussenstap expliciet? Verlaag je de maximumscore als de basisstrategie fout zit? Geef je nog een punt voor een correct antwoord als de redenering eigenlijk niet klopt? En wat doe je met een leerling die de juiste oplossing vindt, maar daarbij notaties gebruikt waarvan je wiskundige tenen lichtjes krullen?

Wie toetsen verbetert, weet dat cijfers zelden in één vlotte beweging ontstaan. Een eindscore is meestal het resultaat van een hele reeks kleine beslissingen. In het wetenschappelijke artikel waarop deze bijdrage gebaseerd is, noemen we die beslissingen microbeslissingen: kleine beoordelingsmomenten waarbij een leraar een stukje feedback koppelt aan deelpunten. In werkelijkheid gebeuren zulke beslissingen vaak in het hoofd van de leraar. We schrijven ze lang niet altijd expliciet uit als feedback bij een toets. In het onderzoek vroegen we leraren net om dat wél te doen: ze koppelden hun puntenbeslissingen telkens aan een korte feedbackzin. Zo werden de kleine verbeterbeslissingen zichtbaar die anders meestal verborgen blijven.

Enkele voorbeelden uit het onderzoek:

Je hebt de breuk niet correct vereenvoudigd.          \(-1\)

Of:

Goede keuze van de onbekende.         \(+1\)

Of nog:

De vergelijking is verkeerd opgesteld.          max. \(5/10\)}

Die microbeslissingen bepalen samen hoe het cijfer op een vraag tot stand komt. Ze tonen ook welk scoremechanisme een leraar gebruikt en waar een leraar belang aan hecht: aan het eindantwoord, aan de gevolgde procedure, aan het inzicht achter de oplossing, aan correcte notatie, aan structuur, of aan een combinatie daarvan?

Waarom dit onderzoek?

Cijfers zijn overal in het onderwijs. Ze staan op toetsen en rapporten, spelen mee bij deliberaties en studiekeuzes, en beïnvloeden hoe leerlingen naar zichzelf kijken als (wiskunde)leerling. Niet toevallig worden cijfers in de literatuur weleens de ‘munteenheid van het onderwijs’ genoemd. Tegelijk zijn cijfers omstreden. Ze zouden te hard zijn, te subjectief, te onbetrouwbaar, te weinig informatief, te weinig formatief, of te bepalend voor leerlingen.

Bij wiskunde leeft vaak het idee dat cijfers relatief objectief tot stand komen. Een antwoord is juist of fout, toch? Wie al eens een stapel wiskundetoetsen heeft verbeterd, weet dat het niet zo eenvoudig is. Leerlingen maken halve fouten, toevallige juiste redeneringen, elegante maar onvolledige redeneringen, slordige notaties, strategische vergissingen, rekenfouten die elkaar soms wonderwel opheffen\(\ldots\)

Daarom wilden we niet alleen weten welk cijfer leraren geven, maar vooral hoe ze tot dat cijfer komen. Welke kleine beslissingen nemen ze onderweg? Gebruiken ze vooral aftrekpunten, pluspunten of maximumscores? Waar letten ze inhoudelijk op? En zijn in dat samenspel herkenbare verbeterstijlen te vinden?

Opmerkelijk genoeg is ons onderzoek een van de eerste pogingen in de wetenschappelijke literatuur om de black box van verbeterstijlen van leraren open te trekken. We weten daar opvallend weinig over, terwijl verbeteren onlosmakelijk verbonden is met de job van een leraar.

De opzet van het onderzoek

In het onderzoek verbeterden 45 Vlaamse wiskundeleraren (9 in de pilootstudie, 36 in het eigenlijke onderzoek) toetsen over eerstegraadsvergelijkingen. Dit onderwerp was bewust gekozen door zijn herkenbaarheid voor bijna alle leraren. Deze wiskundeleraren kwamen van over heel Vlaanderen, uit alle graden en onderwijsvormen en de meesten kenden elkaar niet. De toets bestond uit drie klassieke vragen: (1) een formule omvormen (zie Figuur 1), (2) een vergelijking oplossen waarin ook breuken voorkwamen (\(\frac{3(x-1)}{5}-\frac{2(1-4x)}{7}=x+\frac{x+1}{5}\)) en (3) een vraagstuk oplossen met een vergelijking (De wiskundeolympiade bestaat telkens uit 30 meerkeuzevagen. Je krijgt 5 punten per juist antwoord, 0 punten per fout antwoord en 1 punt per onbeantwoorde vraag. Jurgen haalde 102 punten met 4 foute antwoorden. Hoeveel vragen had Jurgen juist?). Elke vraag stond op 10 punten, zodat de volledige toets op 30 punten stond. Elke leraar verbeterde 30 leerlingentoetsen uit de totale steekproef van 60 leerlingentoetsen, afgenomen op het Sint-Godelieve-Instituut te Lennik in een 3 aso. Die selectie bevatte voor elke leraar een erg gelijkaardige mix van zwakke, middelmatige en sterke toetsen (gebaseerd op de uitgereikte resultaten tijdens de pilootstudie).

De leraren kregen de oplossingen, maar geen verbetersleutel. Dat was een bewuste keuze. We wilden hen laten verbeteren zoals ze dat in hun eigen praktijk zouden doen. Ze moesten dus zelf beslissen welke fouten zwaar wogen, welke tussenstappen punten verdienden en welke opmerkingen ze wilden formuleren.

 

Het verbeteren gebeurde in een digitale omgeving. Daarin konden leraren feedback geven en daaraan deelpunten koppelen. Ze konden op drie manieren punten toekennen of verliezen:

• punten aftrekken,
• een maximumscore opleggen,
• punten toevoegen.

Die drie manieren lijken op het eerste gezicht gewoon technische varianten. Toch drukken ze een verschillende verbeterlogica uit. Wie punten aftrekt, vertrekt impliciet van een volledig correcte oplossing en bestraft fouten. Wie punten toevoegt, vertrekt eerder van nul en beloont wat aanwezig is. Wie een maximumscore oplegt, zegt eigenlijk: door deze fout kan de oplossing niet meer boven een bepaalde grens uitkomen, ook al staan er nadien nog correcte stappen. Later zal blijken dat veel leraren een combinatie van scoremechanismen hanteren, iets waar ze zichzelf vaak niet bewust van zijn en wat eigenlijk ook niet altijd eenduidig te interpreteren is.

In Figuur 1 zie je zo’n verbetermoment. De leraar geeft niet alleen feedback, maar koppelt daar ook twee puntenbeslissingen aan. Precies die combinatie noemen we een microbeslissing, de eerste microbeslissing stelt het maximum bij tot 5/10, de laatste trekt hier nog 3 punten vanaf, wat het totaal van deze leerling op 2/10 brengt voor deze vraag.

Hoe geven leraren punten?

In totaal analyseerden we 4727 verbeterbeslissingen. Daarvan waren er 3671 echte microbeslissingen waarbij feedback gekoppeld werd aan deelpunten. Daarnaast waren er ook directe beslissingen: 992 keer werd een oplossing als volledig correct aangeduid (10/10), en 64 keer bleef een vraag onbeantwoord (0/10).

Het meest gebruikte scoremechanisme was punten aftrekken. Ongeveer twee derde van de microbeslissingen waren aftrekbeslissingen. Punten toevoegen kwam minder vaak voor, maar was zeker niet uitzonderlijk. Het opleggen van een maximumscore kwam het minst voor.

Ruw samengevat:

• ongeveer 64% van de microbeslissingen bestond uit punten aftrekken;
• ongeveer 28% bestond uit punten toevoegen;
• ongeveer 8% bestond uit het opleggen van een maximumscore.

Belangrijke opmerking hierbij is dat deze mechanismen niet samenvallen met streng of mild verbeteren. Het zou te simpel zijn om te zeggen: aftrekken is streng en toevoegen is mild. Zo werkt het niet. Een leraar kan bijvoorbeeld vooral punten aftrekken, maar dat telkens in kleine hoeveelheden doen. Correlaties tussen het gebruik van deze mechanismen en hoe ‘streng’ men verbeterde, lagen allemaal dichtbij 0.

Bovenstaande percentages zeggen al iets, maar ze verbergen ook veel variatie tussen leraren. Sommige leraren gebruikten bijna uitsluitend aftrekpunten. Andere leraren mengden verschillende systemen. Nog andere leraren gebruikten opvallend vaak maximumscores. Dat zie je in Figuur 2: elke horizontale balk stelt één leraar voor en toont hoe zijn of haar puntenbeslissingen verdeeld zijn over aftrekken, optellen en maximumscores.

 

Op basis van die verschillen voerden we een clusteranalyse uit. Zo’n analyse zoekt naar leraren die op elkaar lijken in hun manier van verbeteren. We keken daarbij niet alleen naar hoe vaak leraren aftrekpunten, pluspunten of maximumscores gebruikten, maar ook naar het gewicht van die beslissingen. Een aftrek van \(-4\) telt in zo’n analyse dubbel zo zwaar mee dan een pluspunt van \(+2\). Daarnaast hielden we rekening met de vraag hoe consequent leraren binnen één studentenoefening hetzelfde scoremechanisme gebruikten.

Daaruit kwamen vier herkenbare verbeterstijlen naar voren. De grootste groep bestond uit consequente aftrekkers: 15 van de 36 leraren, of 42%. Zij gebruikten bijna uitsluitend aftrekpunten: gemiddeld ging 92% van hun puntenbeslissingen via aftrekken. Pluspunten kwamen bij hen nog nauwelijks voor (7%) en maximumscores bijna niet (1%). Bovendien deden ze dat zeer consequent: binnen eenzelfde leerlingenoplossing gebruikten ze in 98% van de gevallen hetzelfde scoremechanisme. Hun verbeterlogica is dus heel herkenbaar: het ideale antwoord krijgt 10, en elke afwijking daarvan kost punten.

Daarnaast vonden we een groep van aftrekkende balanceerders: 10 leraren, of 28\%. Ook bij hen was aftrekken het belangrijkste mechanisme, maar minder uitgesproken: gemiddeld 54% van hun puntenbeslissingen verliep via aftrekpunten. Daarnaast gebruikten ze ook geregeld pluspunten (26\%) en maximumscores (20%). Ze vertrekken dus meestal van wat fout loopt, maar combineren dat met erkenning voor wat wel goed loopt of met een maximumscore wanneer een fout fundamenteel is.

Een kleinere groep bestond uit systematische maximumzetters: 6 leraren, of 16%. Bij hen waren maximumscores dominant: gemiddeld 63% van hun puntenbeslissingen verliep via een maximumscore. Toch gebruikten ook zij daarnaast aftrekpunten (23%) en pluspunten (14%). Bij deze groep speelt dus sterk de vraag: hoeveel kan een leerling nog halen als een bepaalde denkstap fundamenteel fout zit?

Tot slot waren er mengende toevoegers: 5 leraren, of 14%. Zij gebruikten vooral pluspunten: gemiddeld 59% van hun puntenbeslissingen verliep via punten toevoegen. Maar ook deze leraren verbeterden niet louter via optellen: ze gebruikten daarnaast aftrekpunten (25%) en maximumscores (16%). Zij combineerden het vaakst verschillende scoremechanismen binnen eenzelfde leerlingenoplossing: slechts in ongeveer de helft van de gevallen gebruikten ze daar consequent één scoremechanisme. Hun verbeterstijl is dus echt gemengd.

Waar letten leraren inhoudelijk op?

Naast de vraag hoe leraren punten geven, onderzochten we ook waarvoor leraren punten geven of aftrekken. Daarbij maakten we onderscheid tussen verschillende soorten inhoudelijke aandacht.

Een eerste categorie noemen we strategische vaardigheden. Daarbij gaat het om de wiskundige strategie: begrijpt de leerling wat er moet gebeuren? Kan de leerling een vraagstuk omzetten in een vergelijking? Kiest de leerling een geschikte onbekende? Weet de leerling welke stap nodig is om een vergelijking op te lossen?

Een tweede categorie zijn procedurele vaardigheden. Daarbij gaat het om het correct uitvoeren van procedures: termen samenbrengen, haakjes uitwerken, breuken omvormen, tekens correct hanteren, juist rekenen, een vergelijking juist oplossen.

Een derde categorie noemen we noteren. Dat gaat over hoe de leerling het antwoord wiskundig en talig noteert: correcte notatie, een antwoordzin formuleren, tussenstappen benoemen.

Een vierde categorie bevat algemene opmerkingen. Dat zijn brede oordelen zoals ‘goed gewerkt´, ‘slordig´of ‘je begrijpt dit nog onvoldoende´, zonder dat ze altijd precies verwijzen naar één specifieke wiskundige stap.

Ook op deze inhoudelijke categorieën voerden we een clusteranalyse uit. Daarbij keken we naar het aandeel punten dat leraren toekenden aan strategische & procedurele vaardigheden, notatie en algemene opmerkingen. Daarnaast namen we mee hoeveel van hun puntenbeslissingen gekoppeld waren aan positieve feedback. Daaruit kwamen opnieuw vier herkenbare verbeterstijlen naar voren.

 

Een eerste, kleine groep bestond uit algemene prijzers: 3 van de 36 leraren, of 8%. Bij hen lag de nadruk sterk op algemene opmerkingen: gemiddeld 66% van hun puntenbeslissingen viel in die categorie. Ook opvallend: 63% van hun puntenbeslissingen was gekoppeld aan positieve feedback. Wanneer ze wel inhoudelijk naar de wiskunde keken, ging het vooral over procedurele vaardigheden (17%), en minder over strategische vaardigheden (11%) of notatie (6%). Zulke feedback kan motiverend zijn, maar het risico is dat ze weinig precies is en in vage algemeenheden blijft plakken. Een leerling weet dat iets goed was, maar niet noodzakelijk wat precies goed was.

De grootste groep bestond uit wiskundige balanceerders met oog voor detail: 13 leraren, of 36%. Zij verdeelden hun aandacht vrij evenwichtig over procedurele vaardigheden (41%) en strategische vaardigheden (34%). Bovendien hadden zij van alle groepen het meeste aandacht voor notatie (17%). Ook positieve feedback kwam bij hen geregeld voor (42%). Van alle stijlen komt deze misschien het dichtst in de buurt van wat veel leraren intuïtief als ‘evenwichtig verbeteren´ zouden beschouwen.

Een derde groep waren de strategiegerichte critici: 12 leraren, of 33%. Zij legden de nadruk heel sterk op strategie: gemiddeld 63% van hun puntenbeslissingen ging over de grote wiskundige denkstappen, zoals een vergelijking opstellen, de juiste hoofdbewerking detecteren om een vergelijking om te vormen of de juiste onbekende kiezen. Procedurele vaardigheden kwamen minder aan bod (18%), net als algemene opmerkingen (12%) en notatie (6%). Positieve feedback was in deze groep eerder zeldzaam (8%).

De vierde groep bestond uit proceduregerichte critici: 8 leraren, of 22%. Zij focusten vooral op correcte uitvoering: procedurele vaardigheden waren goed voor gemiddeld 46% van hun puntenbeslissingen. Strategische vaardigheden speelden ook nog een belangrijke rol (36%), maar notatie (8%) en algemene opmerkingen (9%) kwamen minder vaak voor. Positieve feedback was in deze groep het zeldzaamst (4%). Dat is herkenbaar in wiskunde, maar het kan ook een valkuil zijn. Wie vooral naar procedurele correctheid kijkt, kan onderschatten of een leerling de wiskundige betekenis van een taak begrijpt.

Ook hier is nuance nodig. Procedurele correctheid is niet onbelangrijk. Een leerling die vergelijkingen oplost, moet nu eenmaal correct kunnen rekenen en omvormen. Maar als toetsen uitsluitend of vooral op procedurele fouten worden afgerekend, kunnen andere aspecten van wiskundig denken uit beeld verdwijnen.

Scoremechanisme en inhoud hangen samen

Tot slot kruisten we beide analyses: de manier waarop leraren punten toekennen en de inhoud waarop ze letten. Die kruising zie je in Tabel 1. De rijen tonen de scoregerichte verbeterstijlen, de kolommen de inhoudelijke verbeterstijlen.

Leraren die sterk op strategische of procedurele vaardigheden focussen (de ‘strategiegerichte critici´ en de ‘proceduregerichte critici´), gebruiken veel vaker aftrekpunten. Algemene prijzers gebruiken dan weer veel vaker pluspunten. De ‘wiskundige balanceerders met oog voor detail´ blijken ook in hun scoremechanismen vaak gemengder te werken. De vier groepen op basis van scoremechanisme en de vier groepen op basis van inhoud vallen dus niet één-op-één samen, maar er zit wel een duidelijke lijn in. Dat is op zich interessant. Een verbeterstijl zit dus niet alleen in de vraag of een leraar punten aftrekt, toevoegt of begrenst, en ook niet alleen in de vraag of die leraar vooral naar strategie, procedure of notatie kijkt. Het gaat net om de combinatie van beide: wat een leraar belangrijk vindt en hoe dat belang in punten wordt omgezet.

 

 

En toch: de eindcijfers lijken sterk op elkaar

Nu komt misschien de verrassendste vaststelling. Ondanks alle verschillen in verbeterstijl kwamen de eindcijfers behoorlijk sterk overeen. De strengste leraar gaf gemiddeld 15,7 op 30, de mildste 21,9 op 30. Dat verschil is niet onbelangrijk, zeker niet voor individuele leerlingen. Maar het betekent niet dat de beoordelingen alle kanten op gingen.

Met intraclasscorrelaties konden we de variantie opsplitsen om zo na te gaan waar de verschillen in totaalscores vooral vandaan kwamen. Ongeveer 84% van de variantie hing samen met verschillen tussen leerlingenoplossingen. Dat is precies wat je bij een toets hoopt: sterke oplossingen krijgen doorgaans hoge scores, zwakke oplossingen lage scores. Slechts 4% (!) van de variantie hing samen met verschillen tussen leraren. De leraar speelde dus wel een rol, maar voor de globale spreiding in totaalscores maakte het veel minder uit wie verbeterde dan welke leerlingenoplossing er voorlag. Een typisch wiskundige vraag is natuurlijk: waar blijft de overige 12%? Die bestaat uit resterende variantie die we in deze analyse niet eenduidig konden toewijzen aan verschillen tussen leerlingenoplossingen of verschillen tussen leraren, zeg maar: ruis.

 

Figuur 4 maakt dit zichtbaar. Elke horizontale lijn toont de empirische distributie van de eindcijfers van één leraar. De kleine zwarte streepjes geven hun gemiddelde aan. De leraars gaan van mild (bovenaan, geel) tot streng (onderaan, paars). De oranje verticale lijn was het algemene gemiddelde over alle leerlingen en leraren heen. Een toets die bij de ene leraar gemiddeld bijvoorbeeld rond 18 op 30 uitkomt, kan bij een strengere leraar eerder rond 14 op 30 liggen. Maar binnen die eigen leraarsnorm blijft de beoordeling opvallend consistent: oplossingen die bij de ene leraar hoog scoren, doen dat doorgaans ook bij de andere.

De figuur vraagt misschien een beetje gewenning, maar de boodschap is helder: leraren verschillen in verbeterstijl en hebben een eigen persoonlijke norm, maar hun beoordelingen wijzen in grote mate in dezelfde richting. Dat nuanceert het vaak gehoorde idee dat leraarcijfers zomaar subjectief en onbetrouwbaar zijn. Ze zijn niet helemaal identiek, maar zeker ook niet willekeurig.

Conclusie

Met dit onderzoek wilden we voor het eerst de black box van het verbeteren een stukje openen. We keken niet alleen naar de eindcijfers die wiskundeleraren geven, maar vooral naar de microbeslissingen waaruit die cijfers worden opgebouwd: welke scoremechanismen gebruiken leraren, en waar letten ze inhoudelijk op?

De belangrijkste vaststelling is dat verbeteren rijker en meerlagiger is dan een eindcijfer laat zien. Microbeslissingen ontstaan uit een samenspel tussen de verbeterstijl van de leraar, de oplossing van de leerling en de aard van de toetsvraag. We vonden duidelijke verschillen. Sommige leraren trekken bijna systematisch punten af, anderen combineren aftrekpunten, pluspunten en maximumscores. Sommige leraren kijken vooral naar strategische vaardigheden, anderen naar procedurele vaardigheden, notatie of algemene kenmerken van het leerlingenwerk. Ook de kruising van beide invalshoeken liet zien dat verbeterstijlen niet tot één eenvoudige tegenstelling te herleiden zijn. Wie vooral naar strategie of procedure kijkt, gebruikt vaker aftrekpunten; algemene prijzers gebruiken vaker pluspunten of maximumscores; en wiskundige balanceerders combineren inhoudelijk én qua scoremechanisme meer verschillende keuzes.

Tegelijk mogen we die verschillen niet overdrijven. Zodra rekening wordt gehouden met de persoonlijke norm van de leraar, wijzen de eindcijfers grotendeels in dezelfde richting. Leraren geven dus niet allemaal exact hetzelfde cijfer, maar sterke oplossingen blijven sterk en zwakke oplossingen blijven zwak, ongeacht de leraar die ze verbetert. Dat nuanceert het idee dat leraarcijfers zomaar willekeurig of onbetrouwbaar zouden zijn.

Daarbij horen wel enkele kanttekeningen. Onze studie ging over 36 leraren en één toets over vergelijkingen. Een grotere en meer diverse groep leraren, of een toets over een ander onderwerp, zou mogelijk nog andere verbeterstijlen aan het licht brengen. Bovendien verbeterden leraren toetsen van leerlingen die ze niet kenden en toetsen die ze niet zelf hadden opgesteld. Daardoor konden bepaalde effecten uit de dagelijkse klaspraktijk, zoals voorkennis over een leerling of verwachtingen op basis van eerdere prestaties, niet worden meegenomen.

Toch lijkt de kernboodschap overeind te blijven: verbeteren is geen mechanische optelsom, maar professioneel oordelen. Dat oordeel is persoonlijk, maar niet zomaar arbitrair. Integendeel: uit dit onderzoek blijkt dat Vlaamse wiskundeleraren behoorlijk betrouwbare verbeteraars zijn. Dat is een fijn besluit voor wie in juni met rode pen, verbetersleutel en koffie door een stapel examens ploegt.

Benieuwd welke verbeterstijl jij hebt? Neem op een vakgroepvergadering eens drie of vier leerlingenantwoorden op dezelfde toetsvraag, liefst een mix van slechte, matige en sterke antwoorden. Laat elke collega onafhankelijk verbeteren, maar vraag hen om per antwoord ook kort de microbeslissingen te noteren die normaal geruisloos in het hoofd gebeuren: welke fout of kwaliteit zie je, en welke puntenbeslissing koppel je daaraan? Bespreek daarna niet alleen de eindscore, maar vooral de weg ernaartoe. Wie vertrekt van de volledige score en trekt af? Wie kent expliciet punten toe voor wat goed loopt? Wie gebruikt maximumscores? En kijken jullie vooral naar strategie, procedure, notatie of algemene kwaliteit? De kans is groot dat je niet alleen verschillen vindt, maar ook verrassend veel gedeelde professionele intuïtie.

Bronnen

Moons, F. & van Schendel, C. (2026). How do mathematics teachers grade tests? Different scoring and content priorities in micro-decisions, yet similar final grades. Educational Assessment, Evaluation and Accountability. https://www.doi.org/10.1007/s11092-026-09489-w.