SpinnenwebNoot van de redactie: Dit kort artikeltje verscheen in Uitwiskeling 31/2 (2015). We herpubliceren het hier als eerbetoon aan ons onlangs overleden redactielid Hilde.
In het vijfde jaar maken de leerlingen kennis met logaritmische functies als inversen van exponentiële functies. Eén van de in het oog springende eigenschappen van de stijgende logaritmische functies is dat ze traag stijgen, zeer traag zelfs. Maar hoe traag is traag? Hieronder beschrijf ik een gedachte-experiment dat ik in de klas uitvoer om de traagheid van het stijgen te illustreren.
Stel je voor dat we de muren van het klaslokaal willen opfleuren door er met een fijn penseel een logaritmische functie op te tekenen. We kiezen eerst een assenstelsel. We nemen de \(y\)-as in één van de hoeken van het lokaal (mijn favoriete hoek is vooraan rechts vanuit het standpunt van de leerlingen). Daar waar de twee muren (de muur van het bord en de rechterzijmuur) samenkomen, ligt de \(y\)-as. De \(x\)-as staat daar loodrecht op en is evenwijdig met de vloer van het lokaal. We nemen de \(x\)-as op de rechterzijmuur ongeveer een meter boven de vloer. We maken van het assenstelsel een orthonormaal assenstelsel door op beide assen 1 cm als eenheid te nemen. Nu is de rechterzijmuur van het lokaal klaar om er een grafiek op te tekenen. We maken verder abstractie van eventuele ramen, deuren, prikborden, … op deze zijmuur. Bedenk dat het om een gedachte-experiment gaat!
Op dit denkbeeldige reuzengrafiekpapier gaan we nu een logaritmische functie tekenen. Laten we bij wijze van voorbeeld \(f(x) = \log x\) nemen. Je kunt uiteraard even goed een logaritme met een ander grondtal kiezen.
De grafiek snijdt de \(x\)-as bij \(x = 1\), dus op één centimeter van de hoek. Daarna blijft de grafiek stijgen en stijgen. Om een idee te krijgen van de snelheid van stijgen berekenen we op welke hoogte de grafiek zit als ze aan de volgende hoek (achteraan rechts) komt? Ofwel heb je ‘toevallig’ een vouwmeter in je boekentas zitten en kan de lengte van de klas gemeten worden, ofwel wordt dit een oefening in het schatten van afmetingen. Laten we aannemen dat het lokaal 9 meter lang is. In de hoek is dan de hoogte van de grafiek gelijk aan \(f(900) = \log 900 \approx 2{,}95\). Over de hele lengte van de muur is de functie nog geen 3 cm gestegen! Om nog meer van de functie te zien tekenen we verder op de achtermuur van de klas. We laten de \(x\)-as dus een knik maken. Om te weten hoe hoog de grafiek zit in de volgende hoek, moeten we de breedte van het lokaal weten. Laten we hiervoor 8 meter nemen. De functiewaarde in de volgende hoek is dan \(f(1700) = \log 1700 \approx 3{,}23\). Vervolgens laten we de \(x\)-as opnieuw een knik maken en we tekenen de grafiek verder op de linkerzijmuur en ten slotte ook op de muur aan de voorkant (de muur van het bord). Zo komen we terug in de hoek waar we vertrokken zijn. Hoe hoog zit de grafiek bij het snijden van de \(y\)-as? Met een omtrek van 34 m of 3400 cm van het lokaal vinden we \(f(3400) = \log 3400 \approx 3{,}53\).
We tekenen naarstig verder en komen na de vier muren nog eens aangedaan te hebben opnieuw aan de starthoek. We hebben nu tweemaal de omtrek van het lokaal doorlopen. Dit betekent dat \(x = 2 \cdot 3400 = 6800\). Hiervoor is \(f(6800) \approx 3{,}83\). Gedurende de tweede omloop is de grafiek slechts een halve centimeter gestegen!
Een mooi vraagje hierbij is: hoeveel keer moet je de omtrek van de klas doorlopen opdat de grafiek 1cm hoger dan bij de eerste doorgang zou zijn? Dit is een mooie toepassing op de eigenschappen van logaritmen:
Na 10 volledige omlopen is de grafiek dus 1 cm hoger gekomen. Rekening houdend met de dikte van een penseel, kun je verder even goed de muur met een dikke kwast verven. Je zult het verschil niet merken!
Redactioneel
Onder de loep