Afstand van een punt tot een rechte

Een alternatieve afleiding

Het afleiden van de formule voor de afstand van een punt tot een rechte kan op de klassieke manier door de vergelijking van de loodlijn uit dit punt op de rechte op te stellen, de coördinaat van het voetpunt te bepalen en de afstand van het gegeven punt tot dit voetpunt te berekenen. Dit is conceptueel gezien eenvoudig, maar het algebraïsch rekenwerk maakt het toch behoorlijk uitdagend, ook al werken we met de parametervergelijking van de rechte.

Eerder al verscheen in Uitwiskeling 24/2 een alternatieve aanpak (Deprez, 2008). Eerst wordt de verticale afstand van het punt tot de rechte berekend. Daarna wordt deze afstand gecorrigeerd via een gelijkvormigheidsfactor tussen gelijkvormige driehoeken.

Met de invoering van de nieuwe eindtermen voor de tweede graad krijgen vectoren opnieuw meer aandacht en vinden we in sommige handboeken een afleiding die gebruik maakt van de normaalvector van een rechte en van het scalair product van vectoren (Aerts, 2022).

Al deze afleidingen steunen op de definitie van de afstand van een punt tot een rechte als de loodrechte afstand van dat punt tot die rechte. Maar je kunt die afstand ook zien als de kortste afstand tussen dat punt en de punten van de rechte en dan wordt het een extremumprobleem. Algemene extremumproblemen kunnen de leerlingen in de tweede graad nog niet oplossen. Het lukt in het vierde jaar alleen bij tweedegraadsfuncties. Het extremumprobleem dat we in dit spinnenwebartikel willen oplossen, maakt gelukkig alleen gebruik van tweedegraadsfuncties. We laten hieronder zien hoe dit werkt.

Eerst voor een rechte evenwijdig met de \(y\)-as

Voor rechten die niet evenwijdig zijn met de \(y\)-as kunnen we de vergelijking in de algemenere vorm \(y=mx+q\) brengen. Voor rechten evenwijdig met de \(y\)-as lukt dit niet. Daarom moeten we deze situatie afzonderlijk onder de loep houden.

Een rechte \(r\) evenwijdig met de \(y\)-as kan beschreven worden met \(r \leftrightarrow x=a\). Deze rechte verdeelt het vlak in twee halfvlakken. Als we het punt \(P(x_0,y_0)\) in het linkerhalfvlak nemen (zie Figuur verticalerechte}) dan is de afstand van het punt \(P\) tot de rechte \(r\) gelijk aan \(a-x_0\) en als we dit punt in het rechterhalfvlak nemen dan is deze afstand \(x_0-a\).

Figuur 1 Afstand tot een rechte evenwijdig met de y-as

In beide gevallen vinden we dat \(\textrm{d}(P, r)=|x_0-a|\).

En daarna voor alle andere rechten

Voor deze rechten \(r\) schrijven we de vergelijking in de vorm \(y=mx+q\). We kiezen opnieuw het punt \(P(x_0,y_0)\). Een willekeurig punt \(Q\) op de rechte \(r\) heeft een coördinaat van de vorm \(Q(x,mx+q)\).

We onderzoeken nu eerst de functie \(f\) die het kwadraat van de afstand \(|PQ|\) weergeeft. Hiermee vermijden we vierkantswortels.

\(\begin{align*}
&f(x)\\
=&(x-x_0)^2+(mx+q-y_0)^2\\
=&x^2-2xx_0+x_0^2+m^2x^2+2mx(q-y_0)+(q-y_0)^2\\
=&(1+m^2)x^2-2\left(x_0-m(q-y_0)\right)x+\left(x_0^2+(q-y_0)^2\right)
\end{align*}\)

De functie \(f\) is een tweedegraadsfunctie in \(x\). De grafiek van deze functie is een dalparabool want de hoogstegraadscoëfficiënt \(1+m^2\) is positief. Het minimum wordt dus bereikt in de top.

Leerlingen van het vierde jaar hebben de formule voor de top van een parabool wellicht al gezien op het moment dat de analytische meetkunde aan bod komt. Het eerste coördinaatgetal van de top is

\(\frac{x_0-m(q-y_0)}{1+m^2}\)

en het tweede coördinaatgetal van de top kan berekend worden via het beeld \(f(\frac{x_0-m(q-y_0)}{1+m^2})\). We nemen hiervoor de eerste uitdrukking voor \(f(x)\), namelijk \(f(x)=(x-x_0)^2+(mx+q-y_0)^2\) (zie hoger). Dit beeld kunnen we vereenvoudigen maar dit vraagt wel wat rekenwerk. Dit is een mooie herhaling voor wie het algebraïsche rekenwerk al onder de knie heeft en een mooie uitdaging voor wie het nog niet helemaal onder de knie heeft.

\(\begin{align*}
f\left( \frac{x_0-m(q-y_0)}{1+m^2}\right)
=& \left( \frac{x_0-m(q-y_0)}{1+m^2}-x_0 \right)^2+\left(m\cdot\frac{x_0-m(q-y_0)}{1+m^2}+(q-y_0)\right)^2 \\
=& \left( -\frac{m^2}{1+m^2} x_0-\frac{m}{1+m^2} (q-y_0)\right)^2+\left(\frac{m}{1+m^2}x_0+\frac{1}{1+m^2}(q-y_0)\right)^2 \\
=& \frac{m^2}{(1+m^2)^2}\left(mx_0+q-y_0\right)^2+\frac{1}{\left(1+m^2\right)^2}\left(mx_0+q-y_0\right)^2\\
=&\frac{1+m^2}{(1+m^2)^2}\left(mx_0+q-y_0\right)^2\\
=&\frac{1}{1+m^2} \left( mx_0+q-y_0 \right)^2\\
\end{align*}\)

De minimale afstand tussen een punt \(Q\) van de rechte \(r\) en punt \(P\) is dan gelijk aan de vierkantswortel van deze uitdrukking, dus:

\(\textrm{d}(P,r)=\frac{|mx_0+q-y_0|}{\sqrt{1+m^2}}. \)

Hiermee vinden we de klassieke formule terug om de afstand te berekenen van het punt met  \((x_0,y_0)\) tot de rechte met vergelijking \(mx+q-y=0 \). De link is nu gelegd tussen twee leerstofonderdelen van het vierde jaar: tweedegraadsfuncties en analytische meetkunde.

BRONNEN

• Deprez, J. en Verscheure, J. (2008). Afstand van een punt tot een rechte. Uitwiskeling 24/2, 6-9.
• Aerts, J. et al. (2022). Afstand van een punt tot een rechte. Delta 4B (5u leerboek deel B), 94-95. Berchem: Plantyn nv. ISBN 978-90-497-0338-7.