Goochelen en wiskunde: rekenen met letters

Herman Dufraign en ik, beiden acteurs bij een amateurgezelschap, vormen een duo: hij de goochelaar en ik de leraar, hij gepassioneerd door wiskundige principes achter goocheltrucs en ik geïnteresseerd in toepassingen bruikbaar in de wiskundeles. Herman en ik geven af en toe workshops voor leraren. In dit spinnenweb stel ik twee trucs voor die je op een vergelijkbare manier kunt aanbieden aan leerlingen van de eerste graad. De eerste is een eenvoudige kaarttruc die we in onze workshops door de leraren zelf laten onderzoeken en inoefenen. De tweede is een truc die Herman uitvoert en die de leraren onderzoeken.

Heb je honger naar meer? Via de zoekterm goochelen kan je in het online archief van Uitwiskeling heel wat artikels vinden over Goochelen en wiskunde.

1. Een speelkaart raden

Voorbereiding

Neem een spel kaarten. Toon het volgende schema:

Figuur 1 Kleurcode

Herman gaf me een handig ezelsbruggetje dat me de oorspronkelijke kleurcode deed aanpassen. Schoppen heeft één puntje bovenaan, harten heeft daar twee rondingen, klaveren heeft er drie en ruiten heeft rondom vier puntjes. Tel bij 1, 2, 3 en 4 telkens 5 op en je hebt de kleurcode.

Uitvoering

Laat een leerling een kaart trekken uit het volledige kaartspel. De leerling toont de kaart aan de klas zonder dat jij deze kunt zien.

Spreek af wat de getalwaarde is van de beelden: boer = 11; dame = 12; heer = 13. Vervolgens zet je de leerling aan het rekenen. De hele klas mag meerekenen. Je geeft de volgende de instructie: “Tel het getal van de kaart op met het volgende getal. Als je bijvoorbeeld een 6 trok, tel je hierbij 7 op. Vermenigvuldig het resultaat met 5. Tel bij het getal dat je zo verkreeg het getal dat je in het schema vindt bij de kleur van jouw kaart. Zeg ten slotte de einduitkomst.”

Jij verrast je leerlingen met onmiddellijk de kaart te benoemen die de leerling trok en aan de klas toonde.

Een variante is dat je meerdere leerlingen een kaart laat trekken. Je kunt immers van elke leerling de kaart bepalen.

Uitleg voor de goochelaar

Veronderstel dat de leerling een klaveren 8 trekt. Tel bij 8 het volgende getal 9 op, dit geeft 17. De uitkomst na vermenigvuldigen met 5 is 85. Tel hier 8 bij op omdat dit de kleurcode is bij klaveren en dat geeft 93. De leerling(en) doet(n) dus de volgende berekening: \((8+9)\cdot5+8=93\).

Hoe vind jij dat de leerling klaveren 8 trok? De cijfers 9 en 3 vormen het getal 93. Het eerste cijfer 9 geeft je door er 1 van af te trekken de 8 van de kaart van de leerling. Het tweede cijfer geeft je de kleur, klaveren hoort immers bij 3 met zijn 3 rondingen. De leerling trok een klaveren 8.

Veronderstel dat de leerling een ruiten 4 trekt. Door de instructie te volgen vinden de leerlingen \((4+5)\cdot5+9=54\). De cijfers 5 en 4 vormen het getal 54. Het eerste cijfer 5 geeft je door er 1 af te trekken de 4 van de kaart van de leerling. Het tweede cijfer geeft je de 4 puntjes van het symbool van de ruiten. De leerling trok een ruiten 4.

Veronderstel dat de leerling schoppen 10 trekt. Hij krijgt na de berekeningen het getal: \((10+11)\cdot5+6=111\). Je krijgt hier een getal met drie cijfers maar ook hier werkt de truc. Je splitst dit getal nu in 11 tientallen en 1 eenheid. \(11-1=10\) en 1 staat voor schoppen. De leerling trok schoppen 10.

Wiskunde achter de uitleg

Wat is de rol van de wiskundige bij het ontwerp van deze truc? Waarom geven de cijfers of getallen van de uitkomst de goochelaar genoeg informatie? Waarom moet de goochelaar 1 aftrekken en waarom is de kleurcode ontworpen met 6, 7, 8 en 9 en niet met het ezelsbruggetje van Herman?

We gebruiken letters en noemen de getalwaarde van de kaart \(n\). We gebruiken \(k\) voor het getal dat eigen is aan de kleur en bouwen de kleurcode op met \(5+k\). We zetten de berekeningen om in de volgende algebraïsche bewerking: \((n+(n+1))\cdot5+(5+k)=(2n+1)\cdot5+5+k= \) \(10n+5+5+k=10n+10+k=10(n+1)+k\). Deze bewerking verklaart meteen waar \(n\) vandaan komt en waarom er bij de kleurcode telkens 5 is opgeteld bij het aantal punten of rondingen van de kaartkleuren.

Bruikbaarheid in de les

Deze truc past heel goed in lessen waar rekenen met letters aan bod komt en/of probleemoplossend werken.

2. Denkbeeldige dobbelstenen

Voorbereiding

Je hebt twee kleine papiertjes en een pen nodig.

Uitvoering

Geef een leerling twee papiertjes en de volgende instructie: “Dobbel met twee denkbeeldige dobbelstenen. Onthoud goed waar elke dobbelsteen ligt op je bank. Schrijf op het ene papiertje het aantal ogen van de dobbelsteen die het dichtst bij je ligt en geef het aan één van je buren. Schrijf op het andere papiertje het aantal ogen van de dobbelsteen die het verst van je ligt en geef dat aan een andere buur. Vermenigvuldig de ogen van de dobbelsteen die het dichtst bij je ligt met 2 en tel er 5 bij op. Vermenigvuldig dit getal met 5. Tel bij dit resultaat de ogen van de dobbelsteen die het verst van je verwijderd ligt. Zeg luidop het getal dat je vond.”

Je verrast je leerling door de ogen van de worp op beide dobbelstenen zonder aarzelen te geven.

Variant: laat verschillende leerlingen met echte dobbelstenen werpen, geef dezelfde instructie. Jij kunt alle ogen van elke worp benoemen.

Uitleg voor de goochelaar

Aan de hand van een willekeurig voorbeeld, merk je snel hoe de truc werkt. Stel dat de ogen van de worp 5 (ogen van dobbelsteen dichtbij) en 3 (ogen van dobbelsteen die verder ligt) zijn. \(5\cdot2=10, 10+5=15, 15\cdot5=75, 75+3=78\). Trek 25 af van 78 en je vindt 53, een getal gevormd door de ogen van de dobbelsteen het dichtst bij de leerling en de ogen van de worp van de dobbelsteen het verst van hem.

Wiskunde achter de uitleg

Wat is de rol van de wiskundige bij het ontwerp van deze truc? Hoe komt het dat we 25 van de uitkomst moeten aftrekken en dat dan de cijfers van het getal net de ogen van de worp geven?

We gebruiken letters en vervangen de getallen door \(x\) en \(y\). De berekening uitgeschreven met de onbekenden is

\((x \cdot 2+5) \cdot 5+y=10 \cdot x+25+y=10 \cdot x+y+25\)

We zien 25 verschijnen. Als we dat aftrekken krijgen we een getal met 2 cijfers waarvan de tientallen \(x\) geven en de eenheden \(y\).

Bruikbaarheid in de les

Deze truc past perfect in een les rond modelleren en rekenen met letters.
Je kunt de leerlingen varianten laten bedenken. Enkele voorbeelden:

\( (x\cdot 4+6)\cdot 5+y=20 \cdot x+y+30\)

of      \((x\cdot5+5)\cdot 2+y=10 \cdot  x+y+10 \)

of      \( (x \cdot 6+2)\cdot 5+y=30 \cdot x+y+10 \).

Je kunt de uitvoering die hierboven beschreven werd nog mysterieuzer maken door elke leerling een andere berekening te laten uitvoeren. Het is wel belangrijk om in dat geval goed te onthouden welke formules je voor welke leerling nodig hebt.