Een hotelcake horizontaal halveren

Antonella Perucca & Luc Van den Broeck

In recreatieve wiskundepuzzels is het verdelen van een stuk land in percelen met gelijke oppervlakte en gelijke vorm een klassiek thema. Ook het verdelen van een cake kadert in ditzelfde thema.

Dit artikel focust op cakes met een perfecte geometrische vorm. Het deeg moet bovendien ook homogeen verspreid worden, alsook de eventuele inwendige stukjes appel of chocoladebolletjes die smaak aan de cake geven. Het is redelijk eenvoudig om een ronde, vierkante of driehoekige cake met één verticale messnede te halveren. Hier gaan we snel over. Moeilijker is het om een hotelcake (die een trapeziumvormige dwarsdoorsnede heeft zoals je ziet in de bannerfoto) met een horizontale messnede te halveren om er bijvoorbeeld een laagje roomboter tussen te smeren. Dat is het kernprobleem van dit spinnenwebartikel.

Beide problemen worden opgelost met vlakke meetkunde. De nodige voorkennis is het oplossen van vierkantsvergelijkingen en, als je dieper wilt graven, het genereren van Pythagoreïsche drietallen.

Verticaal halveren van een cake

De meeste cakes die we kopen zijn rond of rechthoekig. Deze vlakke vormen zijn makkelijk met één verticale messsnede in twee gelijke delen te verdelen. Ze hebben immers een symmetriemiddelpunt. Elke rechte snede door dit symmetriemiddelpunt verdeelt de cake in twee congruente delen, zoals de rode streepjeslijn exemplarisch aangeeft in Figuur 1. Mochten er ooit cakes ontworpen worden in de vorm van een parallellogram, een regelmatige zeshoek of nog gekkere vormen met een symmetriemiddelpunt, dan kunnen we op dezelfde manier tewerk gaan.

 

Een driehoekige cake heeft geen symmetriemiddelpunt. Maar ook hierbij is het tweeëndelen makkelijk. Elke snede volgens een zwaartelijn van de driehoek is geschikt.

Een andere mogelijkheid is een snede die evenwijdig loopt met een zijde van de driehoek, zoals in Figuur 2. Het afgesneden puntje is dan een driehoek die gelijkvormig is met de oorspronkelijke driehoek. De verhouding van de oppervlakte van deze twee driehoeken is gelijk aan 2. De verhouding van de hoogten van deze driehoeken is bijgevolg gelijk aan \(\sqrt{2}\).

 

Maar wat weten we als we in een willekeurige andere richting willen snijden? Ook dan vinden we een gepaste snede. Dit leggen we hier even uit. Begin in een vaste richting te snijden dicht bij een tipje van de cake. Het afgesneden stukje is nu kleiner dan de helft van de cake. Als je de messnede evenwijdig opschuift, dan zal de oppervlakte van het afgesneden stukje monotoon stijgen. Deze stijging gebeurt zonder sprongen te maken, op een continue wijze dus. Als je het bakkersmes evenwijdig blijft opschuiven, zal de oppervlakte van het afgesneden stukje groter worden dan de helft van de cake. Ergens tussendoor moet het banketbakkersmes de ideale positie gepasseerd zijn.

Alle rechten die een driehoek perfect in twee verdelen, kunnen we visualiseren met de drie hyperboolstukjes van Figuur 3 die een deltoïde afbakenen. We bewijzen het hier niet maar elke rechte die aan één van deze drie krommen raakt, is een perfecte tweeëndeler.

 

Horizontaal halveren van een hotelcake

Dit probleem bouwen we op vanuit het standpunt van de leerkracht. Hij probeert op een ruitjesblad de dwarsdoorsnede van een hotelcake te tekenen die aan de volgende voorwaarde voldoet. Zowel de grote basis als de kleine basis, de totale hoogte en de hoogte van de horizontale messnede moeten gehele getallen zijn. Zo ontstaat er voor de leerlingen een cakeverdelingsprobleem dat makkelijk zonder zakrekenmachine kan opgelost worden. Om de positie van de messnede te bepalen, moeten de leerlingen dan een eenvoudige vierkantsvergelijking oplossen, zie verderop.

Zoals je ziet in Figuur 4 beschouwen we de trapeziumvormige dwarsdoorsnede van de cake als een rechthoek, ingesloten door twee congruente rechthoekige driehoeken. De breedte van de rechthoek noemen we \(b\) en de hoogte stellen we gelijk aan \(1\). (Verderop zullen we de figuur nog verticaal uitrekken tot de hoogte gelijk is aan een ander geheel getal.) De som van de basissen van de rechthoekige driehoeken noemen we \(a\).

 

 

We maken een horizontale snede op een afstand \(p\) van de kleine basis van het trapezium. Deze snede bakent een kleiner trapezium af dat ook weer bestaat uit een rechthoek, ingesloten door twee kleinere rechthoekige driehoeken. Door gelijkvormige driehoeken te gebruiken, kunnen we berekenen dat de som van de basissen van deze driehoeken is gelijk aan \(ap\).

Met de formule van de oppervlakte van een trapezium berekenen we vervolgens de oppervlakte van het kleine trapezium:

\( p \cdot \left (b+ \frac{ap}{2}\right) \)

en de oppervlakte van het volledige trapezium:

\( 1 \cdot \left (b+ \frac{a}{2}\right). \)

De eerste oppervlakte moet de helft van de tweede zijn. Dit vertalen we als:

\(p \cdot \left (b+ \frac{ap}{2}\right)= 1 \cdot \left (\frac{b}{2}+ \frac{a}{4}\right)\)

waaruit volgt dat:

\(\frac{a}{2} \cdot p^2 +b \cdot p- \left( \frac{b}{2}+\frac{a}{4} \right)=0.\)

Als we ervoor zorgen dat de discriminant van deze vierkantsvergelijking een volkomen kwadraat is, dan is \(p\) rationaal. En met een kleine ingreep (een verticale uitrekking, zie verderop) zorgen we er nadien dan voor dat de hoogte van het bovenste trapezium een geheel getal is.

Je kunt narekenen dat de discriminant van deze vierkantsvergelijking gelijk is aan de som van twee kwadraten:

\( \left(b+\frac{a}{2} \right) ^2 + \left( \frac{a}{2} \right) ^2.\)

De som van twee kwadraten moet dus een kwadraat van een geheel getal zijn. En dat is het geval bij de drietallen van Pythagoras. Deze link had je hier misschien ook al gelegd … Omdat \(\frac{a}{2}\) geheel is, moet \(a\) een even geheel getal zijn.

Enkele voorbeelden van mooie hotelcakes

De eenvoudigste voorbeelden van drietallen van Pythagoras \((k,l,m)\) (met \(k,l,m \in \mathbb{N}_0\) en \(k^2+l^2=m^2\)) zijn

\((3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25) …\)

Nemen we eerst het drietal \((3,4,5)\) onder de loep. Dit drietal geeft aanleiding tot het stelsel:

Hieruit leiden we af dat de kleine basis van het trapezium (\(b\)) gelijk is aan 1 en de grote basis (\(b+a\)) gelijk is aan 7. De vierkantsvergelijking is nu van de vorm:

\(3p^2 +p-2=0.\)

De positieve oplossing van deze vierkantsvergelijking is \(p=\frac{2}{3}\). Door het oorspronkelijke trapezium verticaal uit te rekken, kunnen we ervoor zorgen dat de hoogte van het bovenste trapezium een geheel getal is. Er zijn verschillende mogelijkheden voor zulke uitrekking. Bij een hoogte \(H=6\) van de hotelcake bijvoorbeeld hoort een hoogte \(h=4\) van de bovenste laag. Het trapezium dat dan ontstaat, zie je in Figuur 6 links. Alle aangeduide punten van deze dwarsdoorsnede liggen netjes op roosterpunten met gehele coördinaten. Uit wiskundig standpunt een perfecte hotelcake.

Analoog vinden we voor het drietal \((5,12,13)\) het stelsel:

met als oplossing \(a=10\) en b=7. De kleine basis van het trapezium is dus gelijk aan \(7\), de grote basis is gelijk aan \(17\).

De vierkantsvergelijking:

\(5p^2 +7p-6=0.\)

heeft als positieve oplossing \(p=\frac{3}{5}\). Verticaal herschalen naar een hoogte \(H=5\) voor de hotelcake, geeft een hoogte \(h=3\) voor de bovenste laag. Deze hotelcake zie je in Figuur 6 rechts.

 

Verder onderzoek …

De bovenstaande redenering werkt ook voor ongelijkbenige trapezia met twee scherpe hoeken bij de grote basis en zelfs voor rechthoekige trapezia. In dit laatste geval bestaat het trapezium uit een rechthoek die slechts aan één kant geflankeerd is door een rechthoekige driehoek.

Een lichtjes andere redenering moet gebruikt worden als het gaat over trapezia met een scherpe en een stompe hoek bij de grote basis. We werken dit geval hier niet uit maar laten het als oefening over aan de lezer. Deze afleiding is trouwens alleen voor wiskundigen relevant. Bakkers en patissiers zijn wellicht niet geïnteresseerd in stomphoekige hotelcakes.

Tot slot werpen we nog op dat de redenering met de drietallen van Pythagoras geen oplossing biedt als je van de hotelcake een derde bovenaan wil wegsnijden. Het lukt wel als je een vijfde wil wegsnijden. Met één velletje blanco papier en een rustig moment om te puzzelen kom je wel achter het waarom. Succes met het verder onderzoek …

BRONNEN

• Chaitanya’s Random Pages. Cutting a triangle in half. https://ckrao.wordpress.com/2016/02/27/cutting-a-triangle-in-half/
• Triangle area bisectors. https://demonstrations.wolfram.com/TriangleAreaBisectors/