BibwijzerHans Zantema
Uitgeverij Noordboek, Gorredijk, 2023, ISBN 978 94 6471 021 2
Wiskundige Hans Zantema, tot aan zijn emeritaat in 2022 hoofddocent in de informatica aan de Technische Universiteit Delft en hoogleraar aan de Radboud Universiteit Nijmegen, neemt ons in dit boek uit 2023 mee op een speelse reis door de wiskundige oneindigheid. Hij laat ons zien hoe je oneindige rijen kunt omzetten in verrassende figuren, met soms prachtige symmetrieën of fractale patronen.
Figuur 1 – Dronkenmanswandelingen van drie schildpadden
Alles draait in dit boek om schildpadgrafieken. Deze grafieken ontstaan wanneer een digitale schildpad tijdens een wandeling een spoor nalaat op een computerscherm. Zo kun je een schildpad programmeren om een dronkenmanswandeling over het scherm te maken: na elke schildpadstap zet hij zijn baan verder in een willekeurige windrichting: N, O, Z of W. In Figuur groenblauwrood} zie je drie schildpadden (voorgesteld als piepkleine driehoekjes) die vanuit een centraal punt \(10\,000\) stappen zetten in een dronkenmanswandeling. Er zit geen regelmatig patroon in deze afbeelding. Hoe interessant ook, over deze willekeurige schilpadfiguren gaat het in dit boek maar zijdelings.
Een schildpadroute kan regelmatiger worden als je de schildpad africht om na elke schildpadstap de wandelrichting aan te passen met een hoek die aangegeven is door symbolen in een oneindig lange rij. Als de rij bijvoorbeeld gelijk is aan 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1,… en het cijfer \(1\) staat symbool voor de hoek van \(90^\circ\) en het getal \(-1\) voor \(-90^\circ\), dan wandelt de schildpad over een kanteelgrafiek zoals in Figuur 2.
Figuur 2 – De kanteelwandeling
Zowel in de kanteelrij als in de kanteelgrafiek zit een mooie verschuivingssymmetrie. Maar helaas, de schildpad zal nooit in zijn eigen spoor terugkeren. Ook dit is niet het hoofdopzet van het boek. Hans Zantema gaat expliciet op zoek naar oneindige staprijen waarbij er na een eindig aantal stappen niets nieuws meer te beleven valt.
Periodieke rijen
Met periodieke staprijen lukt het heel goed om een schildpad in zijn eigen voetstappen te laten belanden. Neem bijvoorbeeld de rij waarbij de periode 0,1,0,0,1 zich eindeloos herhaalt. Als het cijfer 0 geassocieerd wordt met een baanafwijking van \(30^\circ\) naar links en het getal 1 met een baanafwijking van \(114^\circ\) naar links, dan stelt de rij 0,1,0,0,1 een vijfhoekslijn voor. Een van de vijfhoekslijnen wordt in Figuur zestig} aangeduid met een dikke zwarte lijn. De schildpad loopt tegenwijzerzin van linksonder (aanvankelijk met de snuit naar rechts) naar linksboven. De vraag is nu: hoeveel keer moet zulke vijfhoekslijn zich herhalen om het circuit te kunnen sluiten?
Figuur 3 – Hoeveel keer moet de vijfhoekslijn herhaald worden?
Het antwoord op deze vraag valt best mee. De som van de hoeken van de vijfhoekslijn (30°, 114°, 30°, 30° en 114°) is 318°. Per cyclus schuift het beginpunt van de vijfhoekslijn dus 42° op in het cirkelvormige patroon en kantelt de wandelrichting ook met 42°. Deze hoek is een breukvormig veelvoud van de hele omwenteling: \(42=\frac{7}{60} \cdot 360\). Na 60 cycli zal de schildpad dus een weer op zijn beginpunt belanden en zal zijn looprichting dezelfde zijn als zijn initiële looprichting. Na 60 cycli en dus 300 lijnstukjes heeft de schildpad 7 omwentelingen gemaakt rond het centrum van de schildpadgrafiek.
In het boek wordt er heel wat theoretischer bewezen dat een staprij met een periode \(a_1, a_2, \dots ,a_m\) een gesloten schildpadgrafiek oplevert als de som van de overeenkomstige hoeken \(h(a_1)+ h(a_2)+ \dots + h(a_m)\) een breukvormig veelvoud is van 360°. In dit breukvormig veelvoud \(\frac{k}{n} 360\) (met \(\frac{k}{n}\) een onvereenvoudigbare breuk) stelt \(n\) het aantal cycli voor om de schildpadbaan te kunnen sluiten en \(k\) het aantal omwentelingen dat er ondertussen gemaakt wordt rond het centrum van de schildpadgrafiek. Merk op: als \(k=0\) is er geen echte rotatiesymmetrie meer in het schildpadpatroon maar een verschuivingssymmetrie zoals in Figuur kanteel}.
Om de lezer aan te zetten om hier verder mee te experimenteren, werkt de auteur ook een bondig Pythonprogramma uit om zulke schildpadgrafieken te tekenen. Python heeft een speciale module, turtle, die hierbij een handje toesteekt. Deze module werkt snel genoeg om grafieken te maken tot een grootteorde van \(10\,000\) stapjes. Voor straffere schildpadgrafieken wordt in dit boek het freeware programma Lazarus gebruikt. Jammer dat hier duidelijke instructies voor ontbreken. En uiteraard ook een beetje jammer dat de vaak kunstige schildpadgrafieken in zwartwit zijn afgedrukt.
Morfische rijen
Ook met niet-periodieke rijen kun je ervoor zorgen dat de schildpad in haar eigen spoor terugkeert. Hiervoor gebruikt Hans Zantema morfische rijen. Ik had hier nooit eerder van gehoord maar de bekendste van deze rijen blijkt de Thue-Morserij te zijn. Ze wordt opgebouwd via een eindeloze reeks van substituties. Start met de rij met één element: 0. Vervang hierin ‘elke’ 0 door 0,1. Dan krijg je de rij:
0,1.
Vervang in deze rij elke 0 door 0,1 en elke 1 door 1,0. Dan krijg je de rij met 4 elementen:
0,1,1,0.
Bij de volgende substitutieronde krijgen ontstaat de rij met 8 elementen:
0,1,1,0,1,0,0,1.
Nog enkele substitutierondes verschijnt deze rij:
0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0.
Als je oneindig lang doorgaat met substitueren, dan pas krijg je de Thue-Morserij. Hoewel ze niet periodiek is, voldoet ze wel aan massa’s andere merkwaardige eigenschappen. Ze bevat bijvoorbeeld ‘evenveel’ nullen als enen (lees: als je ze afbreekt na een even aantal termen). En als je de rijelementen met een oneven rangnummer schrapt (we beginnen met het rijelement \(a_0\) met een even rangnummer) dan blijft de hele rij intact.
De Thue-Morserij is zeer geschikt om de schilpad na een aantal stapjes (in omgekeerde zin) in zijn eigen spoor te dwingen. De voorwaarde om dit te laten lukken is dat de som van de hoeken die overeenstemmen met de symbolen 0 en 1, \(h(0)+h(1)\), een breukvormige veelvoud is van 360° met een noemer die een macht is van 2. De breuk \(\frac{k}{2^n} 360\) geeft hier aan dat er \(2^n\) stapjes moeten gezet worden om de schildpad in haar eigen spoor te laten belanden. Alles uiteraard netjes volgens de regels van de kunst bewezen in ‘Spelen met oneindigheid’.
Hieronder zie je twee voorbeelden van Thue-Morsegrafieken met 2048 lijnstukjes. In het boek is er een ander mooie voorbeeld uitgewerkt met \(2^{16}\) lijnstukjes. Voor deze grafiek en voor al wat er nadien nog volgt in het boek, is het echt nodig om krachtige software te gebruiken, bijvoorbeeld het programma Lazarus.
Figuur 4 – Een schildpadpad op basis van de Thue-Morserij
Figuur 5 – Een ander schildpadpad op basis van de Thue-Morserij
Voor mij zijn de Thue-Morsegrafieken te symmetrisch om echt mooi te zijn. Ik hou meer van andere morfische rijen, bijvoorbeeld de rij die begint met 0 en waarbij via stapsgewijze substituties elke 0 vervangen wordt door 0,1,0,1,0,1 en elke 1 door 1,0,1,0,1,0. Als je deze rij omzet in een schildpadgrafiek waarbij je 0 interpreteert als een baanafwijking van \((-64-\frac{4}{9})\)° naar links en 1 als een baanafwijking van 135° naar links dan ontstaat er een fraai kantkloswerkje, zie Figuur 6.
Figuur 6 – Een schildpadgrafiek op basis van een andere morfische rij
Wat nog meer?
In de laatste hoofdstukken van dit boek gaat het over fractale stapfiguren. Hierbij blijft de schildpad eindeloos verder wandelen zonder in zijn eigen pad te belanden. Hij tekent oneindig veel kopieën van een bepaalde basisfiguur na een vaste homothetie en een vaste rotatie te hebben toegepast. Zoals je kunt vermoeden komen hier vaste waarden aan bod: de Kochfractaal en de fractaal van Sierpinski.
Het boek Spelen met oneindigheid is geschreven met de intentie de lezer voortdurend aan het werk te zetten. Hij moet alert blijven en zich constant op meerdere activiteiten focussen. Er is niet alleen de theorie over de schildpadpaden en de praktijk met de Pythonprogramma’s maar het boek is ook doorspekt met random uitdagingen. Dit zijn olympiadeachtige vraagstukken waarvan de regelmatige hints en het slotantwoord op onverwachte plaatsen midden in de tekst zijn opgenomen. Op deze manier is het onmogelijk om het antwoord te spoilen. De lezer moet echt zelf aan de slag.
Een aanrader? Jazeker, maar je moet er tijd voor uit kunnen trekken (of selectieve hoofdstukken lezen). Echt een zomervakantieboek.