Luc Gheysens

Een tangram is een ´klassieke’ Chinese legpuzzel die bestaat uit zeven stukjes (tans): vijf gelijkbenige rechthoekige driehoeken, een vierkant en een paralellogram. Het ´klassieke” tangram heeft al eeuwen puzzelaars geïnspireerd met zijn bijna onbeperkt aantal legmogelijkheden.

In 1984 publiceerde de Duitse wiskundige Georg Brügner een opmerkelijk artikel over een minimale tangram, die uit slechts drie stukjes bestaat. Hiervoor verdeelde hij een bijzondere rechthoek \(BCD\) met basis \(b\) en hoogte \(c\) in drie gelijkvormige rechthoekige driehoeken, zie Figuur 1.  Stel de lengte van de diagonaal \([BD]\) gelijk aan \(a\) en benoem het voetpunt van de loodlijn uit het hoekpunt \(A\) op de diagonaal \([BD]\) met \(E\). Het bijzondere aan deze rechthoek is dat het lijnstuk \([BE]\) even lang is als de zijde \([AD]\) van de rechthoek. Stel de lengte van het lijnstuk \([DE]\) gelijk aan \(d\), dan is \(a=c+d\).

Deze bijzondere rechthoek draagt (net zoals de regelmatige vijfhoek en de vijfpuntige ster) heel wat gulden snedes in zich. Verschillende verhoudingen van lijnstukken in deze figuur zijn verwant met het getal \(\phi\) waarbij

\(\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\).

Figuur 1 – Drie gelijkvormige rechthoekige driehoeken in een minimale tangram

De verhouding van de basis tot de hoogte

Hoewel er meerdere gulden verhoudingen in deze tangram te berekenen zijn, berekenen we hier alleen de verhouding van de basis tot de hoogte van de rechthoek. Deze oefening past perfect in de leerstof van de tweede graad want ze steunt alleen op gelijkvormige driehoeken en op de stelling van Pythagoras. Maar het is geen standaardoefening. Het is een kleine uitdaging voor wie wat meer aankan. We werken hier een mogelijke oplossing stap voor stap uit.

Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken \(BCD\) en \(AEB\) volgt dat:

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c},\)

of dat

\(b^2=ac.\)

De diagonaal \(a\) kunnen we in termen van \(b\) en \(c\) schrijven door de stelling van Pythagoras toe te passen. Hiervoor is het nuttig eerst beide leden van de gelijkheid te kwadrateren:

\(b^4=c^2 a^2=c^2(b^2+c^2)=b^2c^2+c^4.\)

Nu hebben we een verband gevonden waarin alleen de variabelen \(b\) en \(c\) een rol spelen. Dit verband is van de vierde graad. We zijn echter niet geïnteresseerd in \(b\) en \(c\) afzonderlijk maar wel in de verhouding van \(b\) en \(c\). Als we beide leden van deze vergelijking delen door \(c^4\) vinden we de bikwadratische vergelijking in de variabele \(\frac{b}{c}\):

\(\left( \frac{b}{c} \right)^4-\left( \frac{b}{c} \right)^2-1=0.\)

Via een substitutie verkrijgen we een vierkantsvergelijking in de variabele \(\left( \frac{b}{c} \right)^2\). Ze heeft slechts één positieve oplossing:

\(\left( \frac{b}{c} \right)^2=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\phi.\)

En hieruit vinden we tot slot de gevraagde verhouding:

\(\frac{b}{c}=\sqrt{\phi}=1,27\dots\)

 

De scherpe hoeken in de tangramstukken

We noemen de scherpste hoek van de drie tangramstukken \(\alpha\). Deze hoek voldoet aan de merkwaardige eigenschap dat

\(\tan \alpha = \cos \alpha.\)

In driehoek \(BCD\) lezen we immers af dat \(\tan \alpha = \frac{c}{b}\) en in driehoek \(AEB\) lezen we af dat \(\cos \alpha = \frac{c}{b}\).

In combinatie met de berekeningen hierboven leiden we nu af dat

\(\tan \alpha = \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{\phi}}.\)

En hieruit halen we dan de waarde \(\alpha=38,17\dots^\circ\).

Via de basis-hoogte-verhouding of via de berekende waarde van de hoek \(\alpha\) kunnen de leerlingen de tangram-puzzelstukken van Georg Brügner nu construeren en uitknippen. Ze zijn dan klaar voor de afsluitende puzzelactiviteit.

Puzzelactiviteit

Met de drie puzzelstukjes kunnen we de volgende 16 convexe veelhoeken vormen: twee rechthoeken, twee gelijkbenige driehoeken, twee parallellogrammen, twee gelijkbenige trapeziums, een rechthoekig trapezium, twee vliegers en vier vijfhoeken. Ze staan afgebeeld in Figuur 2.

Figuur 2 – 16 tangrampuzzels van Georg Brügner

 

Om jou of je leerlingen niet het gras van voor de voeten weg te maaien, post ik hieronder slechts de helft van de oplossingen van de puzzel. Voor de andere reken ik op jou.

Figuur 3 – Acht oplossingen

 

Bronnen

 

 

 

 

[], [], [], [], [], [], [], [], []

Post a comment