SpinnenwebJef De Langhe
Probleemstelling
Op het internet vond ik een mooie vraag van het ingangsexamen van Harvard University, nl. het zoeken van de oplossingen van de vergelijking
\(3^x=x^9.\)
Vergelijkingen die een exponentiële functie (\(3^x\)) combineren met een machtsfunctie (\(x^9\)) zijn de laatste tijd in trek. Ze vragen een speciale oplossingsmethode via de W-functies van Lambert, die onder andere bekend geworden zijn via de clipjes van de YouTuber Blackpenredpen. Zijn vis-definitie van de W-functie vat alles samen wat je van de Lambertfunctie moet weten.
Een van de oplossingen van deze vergelijking is eenvoudig te bepalen, nl 27. Immers: \(3^{27}=(3^3)^9\). Maar 27 blijkt niet de enige oplossing te zijn.
Figuur 1 Screenshot van GeoGebra
Op Figuur 1 zie je dat de grafieken van de functies \(f(x)=3^x\) en \(g(x)=x^9\) twee snijpunten hebben. Het duidelijkste snijpunt ligt bij \(x=27\), het minder duidelijke bij \(x=1,15\).
Johann Heinrich Lambert
Voor we de oplossingsmethode van Johann Heinrich Lambert (1728-1777) toelichten, kaderen we de Zwitsers-Duitse geleerde en zijn onderzoek in een kort intermezzo.
Lambert leverde bijdragen aan veel gebieden: wiskunde (voornamelijk analyse en meetkunde), fysica, astronomie, cartografie, logica en filosofie. Hij was de eerste die een rigoureus bewijs gaf dat π irrationaal is. Hij werkte aan niet-Euclidische meetkunde, ver voor de tijd van Lobatsjevski en Bolyai. En hij onderzocht complexe exponentiële en logaritmische functies, wat verband houdt met de latere ontwikkeling van de Lambert W-functie(s).
In de cartografie is zijn belangrijkste prestatie de ontdekking van een kegelprojectie die conform (hoekgetrouw) is, wat ze ideaal maakt voor navigatie, luchtvaart en landmeting. Ter herinnering: ook de Mercatorprojectie is een conforme projectie.
Bij de kegelprojectie wordt een denkbeeldige kegel om de aarde geschoven (zie Figuur 2), waarbij die kegel de aarde-ellipsoïde snijdt volgens twee zogenaamde ‘afstandsgetrouwe’ parallellen. Vanuit het middelpunt van de aarde wordt een stukje aarde geprojecteerd op die kegel die dan na afwikkeling de uiteindelijke kaart vormt.
In de zone rond de parallellen waar de kegel de ellipsoïde snijdt is de vervorming minimaal. Hoe verder weg van deze parallellen hoe groter de vervorming.
Figuur 2 Een denkbeeldige kegel snijdt de aarde in twee parallelcirkels
Ook het NGI, het Nationaal Geografisch Instituut van België, hanteert dit projectie-systeem, dat gebruikt wordt voor cartografie en in geografische informatiesystemen zoals het kadaster. Sinds 1950 heeft het NGI drie verschillende Lambert kaartprojecties ingevoerd, de laatste in 2008 (zie Figuur 2).
Figuur 3 Bijna heel België ligt tussen de parallellen van Lambert.
De functies van Lambert
De W-functie van Lambert is gedefinieerd als de inverse van de functie \(f(x)=x e^x\). We vinden de grafiek van deze inverse door de grafiek van \(f\) te spiegelen rond de eerste bissectrice van het assenstelsel.
Figuur 4 Een spiegeling rond de eerste bissectrice
De inverse van de functie \(f(x)=x e^x\) is een meerwaardige relatie, die we kunnen opsplitsen in twee functies: de gewone Lambertfunctie \(W(x)\) (rode volle lijn) en de Lambertfunctie \(W_{-1}(x)\) (rode stippellijn). Deze laatste functie wordt ook wel als \(W(x,-1)\) genoteerd.
Er zijn enkele bijzondere waarden van de functie \(W\) die de aandacht vragen.
- \(W(e)=1\) want \(f(1)=1\cdot e^1=e\)
- \(W(0)=0\) want \(f(0)=0\cdot e^0=0\)
- \(W \left( \frac{-1}{e} \right)=-1\) want \(f(-1)=(-1) \cdot e^{-1}=\frac{-1}{e}\)
Verder kunnen we het domein en het beeld van de Lambert-functies nog omschrijven.
- \(\textrm{Dom } W(x) = [\frac{-1}{e}, +\infty[\)
- \(\textrm{Dom }W_{-1}(x) = [\frac{-1}{e}, 0[\)
- \(\textrm{Bld }W(x) = [-1, +\infty[\)
- \(\textrm{Bld }W_{-1}(x) = ]-\infty,-1]\)
Voor \(x\)-waarden in het interval \(\frac{-1}{e},0\) zijn er twee verschillende Lambert-beeldwaarden. Bij het oplossen van vergelijkingen zal deze vaststelling leiden tot twee verschillende oplossingen van de vergelijking.
Oplossing van de ‘exponentiële’ vergelijking
Om gebruik te kunnen maken van de \(W\)-functies van Lambert moeten we een vergelijking omzetten naar de standaardvorm \(x \cdot e^x=a\). Door het (of een) Lambertbeeld te nemen van beide leden, vinden we dan dat \(x=W(a)\) (of \(x=W_{-1}(a)\)).
Het omzetten naar deze standaardvorm vraagt soms een beetje inventiviteit. Vaak lukt dit wel bij vergelijkingen waarbij een exponentiële of een logaritmische functie gelijkgesteld wordt aan een machtsfunctie.
Om de vergelijking uit de vraag van het Harvard-examen in standaardvorm te zetten, gaan we als volgt te werk. Op het einde voeren we de substitutie \(y=\frac{-\ln 3}{9} \cdot x\) uit.
\(\begin{align*}
&3^x=x^9 \\
\Leftrightarrow \qquad & x^9=e^{\ln (3^x)} \\
\Leftrightarrow \qquad & x^9=e^{x \ln 3} \\
\Leftrightarrow \qquad & x=e^{x \frac{\ln 3}{9}} \\
\Leftrightarrow \qquad & x \cdot e^{ \frac{-\ln 3}{9} \cdot x} =1\\
\Leftrightarrow \qquad & \frac{-\ln 3}{9} \cdot x \cdot e^{\frac{-\ln 3}{9} \cdot x} =\frac{-\ln 3}{9}\\
\Leftrightarrow \qquad & y \cdot e^{y} =\frac{-\ln 3}{9}
\end{align*}\)
Het getal \(\frac{-\ln 3}{9}\) ligt in het interval \(]\frac{-1}{e},0[\). Daarom kunnen we van dit getal zowel het beeld nemen via de functie \(W(x)\) als via \(W_{-1}(x)\). We vinden nu dat:
\(y=W \left( \frac{-\ln 3}{9} \right) \textrm{ of } y=W_{-1} \left( \frac{-\ln 3}{9} \right)\)
waaruit volgt dat:
\(x= \frac{-9}{\ln 3} W \left( \frac{-\ln 3}{9} \right) \textrm{ of } x=\frac{-9}{\ln 3} W_{-1} \left( \frac{-\ln 3}{9} \right).\)
In GeoGebra-taal wordt dit:
\(x= \frac{-9}{\ln 3} \textrm{LambertW} \left( \frac{-\ln 3}{9} \right) \textrm{ of }\)
\( x=\frac{-9}{\ln 3} \textrm{LambertW}\left( \frac{-\ln 3}{9} , -1 \right).\)
Na uitrekenen geeft GeoGebra: \(x=1,15\) of \(x=27\).
Ook Wolfram Alpha kan vlotjes rekenen met de Lambertfunctie. Net zoals bij GeoGebra kun je LambertW(x) gebruiken om de hoofdwaarde van het Lambertbeeld van \(x\) te vinden. Maar er is nog een andere omschrijving mogelijk. Via de instructie ProductLog\((0,-1/4)\) vinden we \(W_0(\frac{-1}{4})\) en via ProductLog\((-1,-1/4) \) vinden we \(W_{-1}(\frac{-1}{4})\).
Ook voor ‘logaritmische’ vergelijkingen?
Ook bij vergelijkingen met een logaritmische functie in combinatie met een machtsfunctie of een veeltermfunctie, lukt de aanpak met de W-functies. Neem bijvoorbeeld de vergelijking \(x\cdot \ln x = 2\).
Ditmaal zoeken we slechts één oplossing. De grafieken van de functies in het linker- en het rechterlid snijden elkaar immers slechts in één punt. We zullen in de afleiding dus alleen de functie \(W(x)\) nodig hebben.
Figuur 5 Slechts één snijpunt
\(\begin{align*}
& x \cdot \ln x=2 \\
\Leftrightarrow \qquad & \ln x=\frac{2}{x} \\
\Leftrightarrow \qquad & x=e^{\frac{2}{x}} \\
\Leftrightarrow \qquad & \frac{1}{x} e^{\frac{2}{x}}=1 \\
\Leftrightarrow \qquad & \frac{2}{x} e^{\frac{2}{x}}=2 \\
\Leftrightarrow \qquad & \frac{2}{x} =W(2) \\
\Leftrightarrow \qquad & x=\frac{2}{W(2)} \\
\Leftrightarrow \qquad & x \approx 2,35
\end{align*}\)
Denk je het systeem nu wel onder de knie te hebben? Dan kun je het zelf eens proberen met de vergelijking \(x^x=5\). Schrijf het antwoord exact met een W-functie. Als controle reken je het decimaal uit met GeoGebra of met Wolfram Alpha. Het antwoord is iets groter dan 2.
Bronnen