SpinnenwebRond de jaarwisseling zagen we op nieuwjaarskaartjes en op sociale media meermaals mooie eigenschappen van het jaartal 2025 opduiken:
\(\begin{align*} &2025\\ =&(20+25)^2\\ =&(1+2+3+ …+9)^2\\ =&1^3+2^3+3^3+ …+9^3 \end{align*}\)
Deze laatste gelijkheid lijkt op een onwaarschijnlijke toevalligheid, maar dat is ze niet. Dat leert ons de onderstaande stelling, die de laatste jaren terug vaker in de schijnwerpers komt in het licht van bewijstechnieken.
De som van de derdemachten van de natuurlijke getallen 1 tot en met \(n\) is gelijk aan het kwadraat van de som van de natuurlijke getallen 1 tot en met \(n\).
In symbolen:
\(\begin{align*} &(1+2+3+ …+n)^2\\ =&1^3+2^3+3^3+ …+n^3 \end{align*}\)
Je kunt je nu afvragen in welk jaartal we deze bijzondere eigenschap nog eens op de nieuwjaarskaartjes kunnen zetten. De eerstvolgende keer is over 1000 jaar, aangezien \(\left(1+2+\ldots+10\right)^2\) gelijk is aan \(3025\). Geduld oefenen dus.
Als we deze eigenschap in de klas willen bewijzen, starten we met de formule voor de som van opeenvolgende natuurlijke getallen vanaf 1 tot \(n\). Volgens de overlevering liet de grote wiskundige Carl Friedrich Gauss zich in de lagere school al opmerken door deze som uit het hoofd uit te rekenen voor \(n=100\).
De som van de natuurlijke getallen 1 tot en met \(n\) is gelijk aan \(\frac{n(n+1)}{2}\).
Van deze stelling bestaan verschillende grafische bewijzen met puzzelstukjes. Het algebraïsche bewijs hieronder is zeer klassiek en kan al in de tweede graad aangebracht worden. Tel de twee onderstaande gelijkheden term per term op:
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^n i &=1+2+3+ \dots +(n-2)+(n-1)+n\\ \sum_{i=1}^n i &=n+(n-1)+(n-2)+\dots+3+2+1 \end{align*}\)
en besluit hieruit dat:
\(2\cdot \sum_{i=1}^n i=\underbrace{(n+1)+(n+1)+\dots+(n+1)+(n+1)}_{n \text{ keer } n+1} \)
en dus dat:
\(\sum_{i=1}^n i=\frac{1}{2}n(n+1).\)
Om na te gaan hoe het zit met opeenvolgende derdemachten, proberen we eerst intuïtief tot een vermoeden te komen. Dat doen we door voor kleine waarden van \(n\) de sommen \(\sum_{i=1}^n i\) en \(\sum_{i=1}^n i^3\) tegen elkaar uit te zetten. In de tabel op de volgende bladzijde zie je het resultaat voor de natuurlijke getallen \(n\) van 1 tot en met 5.
Meer rijen zijn er niet nodig om op het juiste pad te komen. In de derde kolom staan de kwadraten van de corresponderende waarden uit de tweede kolom. Door deze vaststelling te combineren met de bovenstaande stelling, komen we tot een vermoeden over de som van opeenvolgende derdemachten van natuurlijke getallen:
De som van de opeenvolgende derdemachten van de natuurlijke getallen 1 tot en met \(n\) is gelijk aan \(\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2\).
Om van dit vermoeden een stelling te maken, is er echter een bewijs nodig. We maken hier gebruik van de bewijstechniek door inductie. Bewijzen door inductie zijn iets moeilijker te bevatten en zijn daarom eerder geschikt voor leerlingen van de derde graad. Ze bestaan uit drie stappen.
STAP 1
We tonen aan dat het vermoeden
\(\sum_{i=1}^n i^3=\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2\)
geldig is voor de beginwaarde \(n=1\). Invullen in de formule geeft \(1=1\). Hiermee is de inductiestart aangetoond.
STAP 2
Veronderstel nu dat het vermoeden
\(\sum_{i=1}^n i^3=\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2\)
geldig is voor een willekeurig gekozen \(n\)-waarde. We noemen deze veronderstelling de inductiehypothese. Hieruit kunnen we afleiden dat het vermoeden ook geldig is voor de waarde \(n+1\), m.a.w. dat
\(\sum_{i=1}^{n+1} i^3=\left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^2\)
De afleiding staat hieronder. Tracht bij iedere gelijkheid te controleren wat de overgang mogelijk maakt.
\(\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n+1} i^3 &=\sum_{i=1}^{n} i^3+(n+1)^3 \\
&=\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2+(n+1)^3 \\
&=\frac{(n+1)^2}{4} \left( n^2+4(n+1) \right) \\
&=\frac{(n+1)^2}{4} \left( n^2+4n+4 \right) \\
&=\frac{(n+1)^2}{4} (n+2)^2 \\
&=\left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^2
\end{align*}\)
STAP 3
Pas nu het inductieprincipe toe. Omdat het vermoeden wegens STAP 1 geldig is voor \(n=1\), is dit wegens STAP 2 ook geldig voor \(n=2\). Omdat het geldig is voor \(n=2\), is het volgens STAP 2 ook geldig voor \(n=3\), enzovoort. Door inductie weten we nu dat het vermoeden geldig is voor een willekeurig natuurlijk getal \(n\) vanaf 1. Het vermoeden is nu een stelling geworden.
Ziezo, uit de combinatie van de laatste twee groene kaders volgt nu dat \((1+2+3+ …+n)^2 = 1^3+2^3+3^3+ …+n^3 \). De formule op de nieuwjaarskaarten en de wiskundige YouTubekanalen is hiermee helemaal aangetoond.
Luc De Wilde
Bibwijzer