BibwijzerNumberphile
Ben Sparks, één van de vaste waarden van het wiskundekanaal Numberphile op YouTube, maakte al tientallen video’s met zijn sparringpartner Brady, die zelf nooit in beeld komt maar buiten beeld de gepaste vragen stelt. Ben reageert altijd geamuseerd en vermakelijk op de interventies van Brady. De eerder nonchalante discussies tussen de twee collega’s maken deze clips laagdrempelig en toegankelijk voor een breed publiek.
Fractale dimensies
De clip begint met een vraag aan Brady, in de rol van publiek, namelijk of hij ooit van een object met dimensie 1,58 heeft gehoord. Het antwoord is negatief.
Over het algemeen gebruiken wiskundigen het begrip dimensie immers enkel vanuit de vectorruimtecontext: de dimensie van de vectorruimte voorgesteld door een rechte is 1, die van de vectorruimte voorgesteld door een vlak is 2 … Dimensies zijn in deze optiek natuurlijke getallen, die het aantal elementen van een vectorbasis tellen.
Er blijken echter nog vele andere definities van dimensies te bestaan: de Hausdorffdimensie, de Minkowskidimensie, de correlatiedimensie …
In deze clip belicht Ben Sparks het begrip fractale dimensie. De fractale dimensie van een kubus is 3 omdat je met 8 identieke kubussen een kubus kan samenstellen waarvan de ribbe het 2-voud is van de ribbe van de oorspronkelijke kubus en omdat \(2^3=8\). Op een analoge manier toon je aan dat de fractale dimensie van een vierkant 2 is en de fractale dimensie van een lijnstuk 1.
Figuur 1 De fractale dimensie van de kubus is 3.
Vervolgens diept Ben een GeoGebrabestand op uit een oud clipje over The Chaos Game. Daarin wordt een driehoek van Sierpinski geconstrueerd als een attractor van een oneindige iteratieve rij van punten.
Figuur 2 De driehoek van Sierpinski door van een startpunt telkens de afstand naar een willekeurig hoekpunt te halveren.
Om de dimensie van de driehoek van Sierpinski te bepalen, volgen we verder het patroon in Figuur 1. In essentie vergelijken we het aantal kopieën met de bereikte schaalvergroting. Bijvoorbeeld bij een vierkant maken 4 kopieën een vierkant met een 2 keer langere zijde. De fractale dimensie \( d \) van een vierkant voldoet dan aan de vergelijking \(2^d=4\), of anders gezegd \(d=2\). Zoals je op Figuur 2 ziet, zijn er 3 kleine driehoeken van Sierpinski nodig om een grotere te maken waarvan de zijde een 2-voud is van de zijde van de oorspronkelijke. En omdat \(2^{1,58 …}=3\) stellen we de dimensie van deze fractaal gelijk aan \(1,58…\)
De dimensie van de driehoek van Sierpinski ligt tussen die van een rechte en die van een vlak. Hoe dichter het hele vlak wordt opgevuld door een fractaal, hoe dichter bij 2 de fractale dimensie ligt. Dat zie je bijvoorbeeld in het vierkant van Sierpinski in Figuur 3, dat veel dichter is opgevuld. Als we 8 Sierpinskivierkanten op de gepaste manier tegen elkaar leggen, krijgen we een groter Sierpinskivierkant, waarvan de zijde een 3-voud is van het originele. Omdat \(3^{1,89…}=8\), stellen we de dimensie van het Sierpinskivierkant dus gelijk aan \(1,89…\)
Figuur 3 De fractale dimensie van het vierkant van Sierpinski is 1,89…
Ruimtelijke fractalen
Een gelijkaardige berekening kunnen we nu maken voor objecten die tussen dimensie 2 en dimensie 3 in zweven. Interessant is bijvoorbeeld de ruimtelijke versie van het Sierpinskivierkant, ook wel de spons van Menger genoemd, zie Figuur 4. De spons van Menger heeft dimensie 2,72… want er zijn 20 kleine sponsen nodig om een spons te construeren met een driemaal langere zijde en \(3^{2,72 …}=20\).
Figuur 4 De spons van Menger
Een verbluffende wending krijgt het filmpje toen een ruimtelijke fractaal plots een natuurlijk getal als fractale dimensie blijkt te hebben. Als je goed kijkt naar Figuur 5, dan kun je beredeneren dat de Sierpinskipiramide dimensie 2 heeft. Er zijn 4 van deze piramides nodig om een grotere Sierpinskipiramide te maken met een zijde die een 2-voud van de de originele zijde is. Vermits \(2^2=4\) is de dimensie van deze piramide gelijk aan 2.
Figuur 5 De fractale dimensie van de piramide van
Sierpinski is 2.
Het clipje eindigt met een alternatief bewijs zonder woorden voor de dimensie van de Sierpinskipiramide. Als je de ge-3D-printe piramide ronddraait op de juiste manier, dan blijkt die ononderscheidbaar te zijn van een vierkant. De fractale dimensies moeten dus wel gelijk zijn.
Figuur 6 De piramide van Sierpinski is ononderscheidbaar van het vierkant
Deze en andere boeiende videos vind je op het YouTube-kanaal van Numberphile.