SpinnenwebOoit gaf ik in een huistaak volgende oefening:
Merk op dat het voor de klant geen verschil maakt of eerst de korting dan wel de BTW in rekening gebracht wordt. De helft van de klas gaf deze taak af met als voorbeeld een auto van 400 euro. Ook de andere oefeningen hadden verdacht gelijkaardige antwoorden, wat getuigt van een weinig zinvolle `samenwerking’ …
Behalve het feit dat ik identieke oplossingen verbeteren zinloos werk vind, hadden de leerlingen hier duidelijk niets uit geleerd. Hieruit is mijn zoektocht naar gerandomiseerde wiskundeoefeningen ontstaan. Het idee daarvan is dat iedere leerling een gelijkaardige opgave krijgt maar de getalletjes lichtjes anders zijn om het simpelweg overschrijven van huiswerk tegen te gaan.
In eerste instantie zocht ik mijn toevlucht tot Excel en de functie ´’Verzendlijsten – Afdruk samenvoegen`. Per waarde in een opgave, bv. 15 %, maakte ik een kolom in Excel. Daar kun je dan ofwel zelf getallen invullen of random waarden laten genereren. Elke leerling krijgt een nieuwe lijn met andere waarden zoals je in Figuur 1 ziet.
Figuur 1 – In deze screenshot zie je de getallen voor een opgave waarin gevraagd wordt de BTW te berekenen bij een gegeven prijs (opgave 1) en om een nieuwe prijs te berekenen met een gegeven korting (opgave 2).
Als je een bronbestand gemaakt hebt voor alle leerlingen en alle opgaven, kun je dit samenvoegen met een Word-bestand zodat elke leerling een unieke opgave heeft zoals je hieronder ziet.
Een product kost €75 exclusief BTW, die 21 % bedraagt.
1. Bereken de prijs inclusief BTW.
2. Een broek kost €182, maar omwille van de solden krijg je een korting van 30 %.
a. Met welke factor moet je 182 vermenigvuldigen om de verminderde prijs te berekenen?
b. Geef ook die nieuwe prijs.
Handig is om meteen ook een modeloplossing te maken. Voor de meeste oefeningen kan Excel de oplossing wel voor jou berekenen. Je kunt een gepersonaliseerd blad per leerling afdrukken, hen de oefeningen laten maken en naar voorkeur zelf verbeteren of de leerling de modeloplossing bezorgen.
De prijs inclusief BTW is €90,75.
De factor is 0,70.
De nieuwe prijs is €127,40.
Aangezien dit een nogal ambachtelijke werkwijze is (rijen en kolommen maken in Excel, een sjabloon maken in Word en dan documenten samenvoegen, afdrukken, uitdelen, verbeteren,…) en je dit voor elke klas opnieuw moet doen, ging ik op zoek naar iets dat meer automatisch ging.
Bovendien zijn de beschikbare functies in Excel beperkt en kan het soms wat werk vragen om de getallen mooi gelayout te krijgen (bv. aantal cijfers na de komma). En dan had ik nog niet geprobeerd om wiskundige formules toe te voegen …
Een platform met meer mogelijkheden is het (betalend) toetsplatform http://www.woots.nl. Dat gebruikte ik al voor haar functionaliteit om toetsen op papier af te nemen en digitaal te verbeteren. Als je de toetsen digitaal afneemt, heb je de mogelijkheid om de vragen gerandomiseerd te maken. Het platform gebruikt hiervoor de programmeertaal Python. Hiermee heb je veel meer mogelijkheden dan bij Excel en zelfs met een beperkte basiskennis, raak je al een heel eind.
In onderstaand voorbeeld zie je de Pythoncode die met de random-functie een willekeurige korting kiest tussen 5 % en 25 %. Om wat afwisseling te hebben in de vragen, kun je ook het automerk laten variëren door een element uit een lijst te laten halen. Ook de prijs is een willekeurige waarde tussen 15000 en 30000 in stappen van 5000. Ten slotte voorzien we ook nog een variabele met het correcte antwoord.
korting = random(5,25,5)
merkopties = list(“Citroën” , “Toyota”)
automerk = merkopties[random(1,2,1)]
prijs = random(15000,30000,5000)
BTW = 21
antw = prijs*(1-korting/100)*(1+BTW/100)
Met deze variabelen kun je dan een vraag opstellen.
Dit gebeurt in een zeer eenvoudige tekstverwerker zoals je in Figuur 2 kunt zien.
Figuur 2 – Voorbeeld Woots met variabelen
Dankzij de variabele met het antwoord, kan deze vraag automatisch verbeterd worden (of toch het numerieke gedeelte).
Zoals met elk nieuw platform kost het wat moeite om er mee te leren werken, maar eens je een sjabloon van een oefening hebt, kun je gemakkelijk nieuwe oefeningen maken met andere variabelen. Voor wie geen Python kent, kan ChatGPT een goede hulp zijn!
Een laatste (gratis!) oplossing die ik gebruik, is het platform https://www.numbas.org.uk/. Hier heb je zeer uitgebreide mogelijkheden, o.a. integratie met GeoGebra waardoor je ook grafieken variabel kunt maken. De tekstverwerker is gelijkaardig aan Woots, maar deze site heeft een steilere leercurve. Voordeel is dat je geen Pythonkennis nodig hebt. Er is integratie met Smartschool mogelijk (zoals uitgelegd in hun gedetailleerde documentatie al werkt die op dit moment niet optimaal. Je kunt de oefeningen beter vanop het platform zelf delen met de leerlingen of ze zelf op een eigen of schoolwebsite zetten.
Je kunt deze BTW-oefening in Numbas in zijn werk zien op mijn website. De opgave ziet er uiteindelijk hetzelfde uit als met de andere platformen.
Tijdens een speciaal actieweekend geeft een autohandelaar een korting van 5 % op alle tweedehandsauto’s. Stel dat je van de verkoper de vraag krijgt of je eerst de korting wil aftrekken en dan de BTW (21 %) optellen of omgekeerd.
Wat kies je?
Maak de berekening voor een auto van €13 000.
Om het automatisch te laten verbeteren, is de vraag opgesplitst in deelvragen:
Leerlingen kunnen deel per deel indienen en laten nakijken. Geraken ze er niet uit, of hebben ze de oefening fout opgelost, dan krijgen ze een modeloplossing te zien zoals hierboven. Deze modeloplossing (die je zelf aanmaakt) gebruikt dezelfde waarden als in de opgave en zal dus ook voor elke leerling die de oefening oplost, anders zijn.
Ik nodig de lezer uit om mijn website eens te bezoeken. Je vindt er ook voorbeelden waar GeoGebra gebruikt wordt. Dan wordt bijvoorbeeld de grafiek van een willekeurige logaritmische functie getoond en moeten de leerlingen het functievoorschrift opstellen. Je kunt er voor kiezen om de vragen apart aan te bieden, zoals de oefening van daarnet, of te bundelen in een oefenreeks. Bij het zelf maken van gerandomiseerde oefeningen (zowel Woots als Numbas), moet je op voorhand goed nadenken over speciale gevallen. Je wil niet per ongeluk delen door nul of onmogelijke getallen uitkomen. Met een goede keuze voor de grenzen van de randomwaarden, kun je al veel uitsluiten. De beste strategie is om voor de speciale gevallen een apart oefentype aan te maken en dan een oefenreeks aan te bieden waar af en toe een speciaal geval in voorkomt, eerder dan één oefening aan te maken die alle mogelijkheden dekt.
Er zijn meer en meer sites en uitgeverijen die gerandomiseerde oefeningen aanbieden en ik geloof echt dat dit de toekomst is. Je spendeert misschien een beetje meer tijd in het opvolgen, aangezien elke oefening anders is, maar het gebruik van variabelen laat dan weer toe oplossingen automatisch te laten berekenen. Persoonlijk stop ik liever iets meer tijd in het nakijken van oefeningen die leerlingen echt zelf hebben gemaakt, dan in het verbeteren van overgeschreven oefeningen.
Ook bij de leerlingen merk ik dat ze meer en harder aan de slag gaan als ze zien dat ze elk een unieke oefening hebben. Ze kunnen elkaar nog steeds helpen, maar dan door het aan elkaar uit te leggen in plaats van te laten overschrijven. De modeloplossing is hierbij dan wel handig, zodat leerlingen zichzelf kunnen verbeteren, aangezien iedereen een andere opgave heeft. Uiteindelijk boeken ze hiermee een grotere leerwinst en zet je de leerlingen actiever aan het werk.
Bovendien geef je, door de randomisatie, ook de leerlingen extra kansen om te oefenen. Voorwaarde hiervoor is dan wel dat je voldoende afwisseling hebt in oefentypes. Het heeft niet zo veel zin om hen telkens dezelfde oefening opnieuw te laten maken met andere getallen. Leerlingen kunnen dit niet enkel gebruiken om te oefenen, maar ik gebruik dit ook soms om een toets op te stellen: ik laat een oefening een aantal keer genereren tot ik iets heb dat bruikbaar is.
Met een welgemikte screenshot, gooi ik het zo in mijn toets!
Hans Denayer
Bibwijzer
Onder de loep