Toeval is altijd logisch, Steven Tijms

Uitgeverij Vesuvius, Amsterdam, 2018, ISBN 9789086597802

Ik val meteen met de deur in huis: ik heb genoten van dit boek. Het leest heel vlot, is helder opgebouwd en onderhoudend. De ondertitel, `Een kennismaking met de wereld van toeval en kansen’, drukt goed uit wat het opzet is. Verwacht dus geen formules of wiskundige afleidingen, dit boek is ook geschreven voor wie weinig vertrouwd is met kansrekenen.

Deel één

Steven Tijms, die zowel wiskunde als klassieke talen studeerde, deelt zijn boek op in twee delen. In het eerste deel, `De geboorte van de kansrekening’, geeft hij een uitgebreid historisch overzicht van de ontwikkelingen die, vanaf de oudheid, geleid hebben tot de kansrekening zoals wij die nu kennen. Al lezend kom je één voor één de personages tegen die aan de wieg van de kansrekening stonden. En dat zijn zeker niet de minsten: Galileo Galilei, Blaise Pascal, Girolamo Cardano, Pierre de Fermat, Jakob Bernoulli, Christiaan Huygens… Je leert deze genieën kennen als boeiende persoonlijkheden die in niets moeten onderdoen voor hun meer beroemde (tenminste onder niet-wiskundigen) tijdgenoten uit bijvoorbeeld de literatuur of filosofie. Het geheel is doorspekt met boeiende anekdotes terwijl zeker ook de grote lijnen en de maatschappelijke context voldoende aandacht krijgen.
In dit deel trof mij onder andere het feit dat het tot de tweede helft van de 17e eeuw zou duren vooraleer de begrippen kans en waarschijnlijkheid zoals wij die nu kennen, hun intrede doen. De Oude Grieken, die nochtans meesters waren in de meetkunde, kenden geen woord voor kans! Vaak wordt voor dat ontbreken van een kansbegrip bij de Grieken verwezen naar het geloof in de godin Fortuna (door de Grieken Tuchè genoemd). De grillen van een wispelturige en blinde godin, dat is wat velen dachten dat toeval was. De auteur wijst er fijntjes op dat niet iedereen in de oudheid er zo over dacht. Hij beargumenteert aan de hand van verwijzingen naar klassieke teksten van Cicero dat bijvoorbeeld de scepticus Carneades (3e eeuw v. Chr.) al notie had van de zogeheten `wet van de enorm grote aantallen’. Leuk is de beschrijving van een, weliswaar fictief maar met argumenten die allemaal in Cicero’s werk zijn terug te vinden, filosofisch gesprek in het Oude Athene tussen Carneades en de beroemde stoïcijn Chrysippus (3e E v.C.). Je voelt in dit deel van het boek dat de auteur naast wiskunde ook een passie heeft voor klassieke talen!

Via de geschiedenis van het dobbelspel gaat het al snel naar de middeleeuwen en de renaissance. Terwijl je over de grondleggers van de kansrekening leest, leer je ook de basisbegrippen en de regels van de kansrekening kennen. Dat is weliswaar handig voor wie niet zo veel van kansrekening weet, maar ook voor wiskundigen is het wel boeiend. Doordat de begrippen in een historische context worden ingevoerd, bekijk je ze soms vanuit een ander perspectief. Ik heb in dit deel regelmatig hoekjes van bladzijden omgeplooid. Dat doe ik steeds wanneer ik iets lees dat ik niet wil vergeten en later snel wil kunnen terugvinden. Voor wie niet zo veel kent van de geschiedenis van de kansrekening is er in dit deel van het boek veel bij te leren dat vaak ook leuk is voor in de les!

Door het lezen van heel die geschiedenis, besef je bovendien dat in de simpelste kansprocessen valkuilen zitten waar zelfs de grootste wiskundigen in trapten. Tijms citeert Leibniz, die in 1715 schreef dat je met twee dobbelstenen net zo makkelijk 11 als 12 gooit omdat beide uitkomsten maar op één manier te gooien zijn: respectievelijk als 5-6 en als 6-6. Terwijl, nog volgens Leibniz, 7 ogen op meerdere manieren gegooid kunnen worden namelijk als 1-6 of 2-5 of 3-4. Als zelfs een grote wiskundige als Leibniz zich zo vergist, verbaast het niet dat veel mensen moeite hebben met het kansbegrip. Ik denk dat het voor onze leerlingen goed is om dat te beseffen!

Deel twee

In het tweede deel van het boek worden een aantal verrassende voorbeelden van toeval en kansen in het leven van alledag besproken. Meer in het bijzonder worden heel wat redeneerfouten en drogredeneringen ontmaskerd. Vaak gaat het om resultaten die helemaal tegen onze intuïtie ingaan, maar die bij nader inzicht heel logisch blijken. Je vindt in dit deel ongetwijfeld enkele intrigerende onderwerpen die je in de klas kunt gebruiken.

Zo is er de ‘gambler’s fallacy’, die mensen telkens opnieuw weer in de val lokt. Er wordt getoond dat de kans op toevallige reeksen van gelijke uitkomsten verrassend groot is bij een kansexperiment. Ook de illusie van de ‘hot hand’ in het basketbal wordt doorprikt. De wet van de grote aantallen wordt uitgebreid geïllustreerd met daarbij de misconcepties die wij ervan hebben. Er wordt uitgelegd hoe die wet er verantwoordelijk voor is dat onwaarschijnlijk geachte gebeurtenissen zich toch voordoen. In die context komt ook de verjaardagsparadox aan bod. Telkens passeren heel wat concrete voorbeelden de revue zoals voorspellende dromen en een fenomeen als Paul de octopus die de uitslagen van de Duitse ploeg op het WK voetbal van 2010 perfect wist te voorspellen. Zo ook bijvoorbeeld een project van Bill en Melinda Gates ter bevordering van kleine scholen. Het koppel Gates startte dit project toen bleek dat kleine scholen verrassend vaak voorkwamen in de top van de jaarlijkse rankings van scholen. Hoewel er veel geld in dat project werd gestopt om nieuwe kleine scholen op te richten, bleven de verhoopte resultaten uit. De verklaring daarvoor blijkt een heel simpele redeneerfout te zijn die alles te maken heeft met een hardnekkige misconceptie van de wet van de grote aantallen. Het is achteraf bekeken verbazingwekkend dat een hele resem onderzoekers zich zo op het verkeerde been liet zetten.

In andere hoofdstukken gaat het over de betrouwbaarheid van medische tests en de moeilijkheden die artsen (en zij niet alleen!) hebben met de juiste interpretatie van valse positieven. De voorbeelden daarbij vormen een boeiende inleiding op de lessen rond het begrip voorwaardelijke kans. Verder wordt ook de bekende ‘prosecutor’s fallacy’, die zelfs de knapste juristen om de tuin kan leiden, uitgebreid met voorbeelden geïllustreerd. Het verjaardagsprobleem en het dillemma van Monty Hall sluiten het rijtje.

Toegegeven: heel wat van de principes die in het tweede deel besproken werden, kende ik al. Maar ik ontdekte zeker nog genoeg boeiende nieuwe voorbeelden. Bovendien is het ook gewoon handig om al die topics samen, in een heel vlot leesbaar geheel, voorgeschoteld te krijgen.

Ik heb na het lezen van het boek alvast mijn cursussen kansrekening van het vierde en het zesde jaar grondig aangepast. In plaats van de min of meer stapsgewijze opbouw die in vrijwel alle handboeken gevolgd wordt, begin ik nu met enkele intrigerende redeneerfouten om de nieuwsgierigheid van mijn leerlingen te prikkelen. De leerstof van kansrekenen bouw ik dan op vanuit die voorbeelden. Daardoor wordt het naast een cursus kansrekenen ook een lessenreeks rond kritisch denken en ontmaskeren van typische redeneerfouten uit de dagelijkse praktijk. Ik hoop op die manier aan mijn leerlingen te tonen dat iets kennen van kansrekening heel relevant is en een goede aanvulling op je algemene ontwikkeling. Al is naar mijn aanvoelen dat nuttigheidsargument niet het meest belangrijk. Kansrekenen kan ook gewoon leuk, intrigerend en erg fascinerend zijn. Dat wordt in dit boek uitvoerig getoond!

Els Vanlommel