1. Inleiding

Eén van de meest waardevolle dingen die je in je leven kunt leren, is het oplossen van problemen. Wanneer je daarin vaardig bent, geeft het je elke dag opnieuw een voorsprong om de moeilijk­heden die je tegenkomt beheersbaar te houden of te overwinnen. We vatten hierbij het begrip probleem ruim op.

Een probleem is een moeilijkheid waar je niet onmiddellijk een antwoord of een oplossings­methode voor weet.

Dit kan gaan van ‘Hé, mijn mails komen plots niet meer aan’ of ‘Ik wil een schommel in de boom hangen’ tot ‘Hoe investeer ik mijn kapitaal het best?’ Maar net zo goed ‘Ik moet een afgeleide berekenen’ of ‘Hoe los ik dat vraagstuk op?’ tot ‘Wat is de integraal van deze functie?’ Of iets een probleem is, verandert naarmate je bijleert. Zo is voor de ene persoon het berekenen van een afgeleide nog wel een probleem, terwijl dat voor een andere al lang niet meer zo is.

Het oplossen van problemen is meer dan een vaardigheid of meer dan kennis. Het is eerder een combinatie van beide. We noemen het een kunde of een bekwaamheid. Dit maakt dat het ‘leren probleemoplossen’ op een andere manier gebeurt dan bijvoorbeeld het leren van algebra of geschiedenis. Wij geloven dat leren problemen oplossen een zaak is van elke dag. In de manier waarop je als leraar voor de klas staat, hoe je zelf met moeilijke situaties omgaat, hoe je je lessen aanpakt, geef je (on)bewust signalen aan leerlingen die hen mogelijk vaardiger maken in zelf problemen oplossen.

Wiskunde is een vak dat veel kansen biedt om te oefenen met het oplossen van problemen. We focussen daarom in deze loep op de manier waarop je dit kunt invullen voor dit vak. Dat betekent natuurlijk niet dat leerlingen automa­tisch, op andere momenten, deze kunde vanzelf zullen inzetten. Transfer maken naar nieuwe situaties blijft, zoals steeds, iets moeilijks.

In paragraaf 2 focussen we op wat leerlingen moeten kunnen om problemen op te lossen.

In paragraaf 3 zoeken we hoe we onze rol als leraar in dit proces opnemen en merken we dat dit een zaak van elke dag is.

In paragraaf 4, 5 en 6 diepen we deze rol verder uit vanuit verschillende aspecten: het begeleiden, het bieden van veiligheid en het zorgen voor een rijk aanbod.

In deze loep wijken we af van de gewone lesactiviteiten of werkteksten voor leerlingen. In plaats daarvan vind je tussen de horizontale lijnen een aantal ‘intermezzo’s’. We willen hiermee jou als lezer aanspreken. Vaak is het een illustratie van de tekst naar een kleine klassituatie of een specifiek voorbeeld. Het is een uitnodiging om naar een gelijkaardige situatie in je eigen klaspraktijk te zoeken.

 2. Wat moeten leerlingen kunnen om problemen te kunnen oplossen?

 2.1 Bewustwording

We starten met een Indisch rekenprobleempje (± 840 na Chr.):

‘Een heel bijzondere slang van 80 angula’s kruipt in van een dag 7,5 angula’s diep in een hol. In  van een dag groeit ze echter  van een angula aan. Hoelang zal het duren tot ze volledig in het hol verdwenen is?’

Uit Gevers e.a. (1990).

Probeer dit probleem eerst zelf op te lossen. Maak twee kolommen. Schrijf in de linkerkolom je oplossing en rechts waar je mee bezig bent, waarom je zo begonnen bent, of je andere problemen oplost… Je zult merken dat precies omschrijven wat je allemaal doet, niet eenvoudig is.

Een algemeen stappenplan om wiskundepro­blemen aan te pakken, vinden we bij George Polya. Zijn ideeën over oplossingsmethoden en strategieën zijn trouwens ook buiten de wiskunde bekend. Eerst moet je het probleem begrijpen, vervolgens moet je een plan van aanpak bedenken, dan het plan uitvoeren en tenslotte terugkijken naar je oplossing. Het kennen van de stappen van deze strategie, zorgt er niet voor dat je plots alle problemen kunt oplossen. Ook het verplichten om dit altijd toe te passen voor alle problemen is geen goed idee. Maar deze stappen kunnen wel je denken structureren en je dwingen tot systematischer en meer doelgericht werken.

Leerlingen denken dikwijls dat een wiskundeprobleem oplossen afhangt van een goede inval in het begin. Vaak kunnen ze niet beginnen aan een oplossing. Ze geven snel op omdat ze denken dat enkel ‘slimme’ leerlingen zo’n inval krijgen. Als de leraar van zijn leerlingen betere problemsolvers wil maken, moet hij bewust weten hoe hij zelf omgaat met nieuwe problemen waarvan hij de oplossing niet onmiddellijk ziet of die geen eenduidige oplossing hebben. Hij moet leren om op glad ijs te durven gaan en out of the box te durven denken. Hij moet zelfvertrouwen opwekken, bijsturen, positieve ervaringen laten opdoen, evalueren, coachen…

 2.2. Aspecten van het probleemoplossen

Volgens de literatuur kun je problemen echt wel leren oplossen. Schoenfeld (1985) onderscheidt vier aspecten die hierbij nodig zijn.

Inhoudelijke achtergrond

Dit is niet alleen de kennis van definities, eigenschappen, (reken)technieken… maar ook inzicht en intuïtie in de leerstof. Bijvoorbeeld: je kunt perfect de wortels van een kwadratische vergelijking berekenen met de discriminant maar je moet ook weten wat dit met de grafiek van een kwadratische functie te maken heeft.

Heuristieken

Dit zijn vuistregels of raadgevingen zoals: een figuur of tabel maken, goede notaties invoeren, elementen van de opgave structureren, van achter naar voor werken, eerst een speciaal geval bekijken. Ze zijn algemeen en hebben niet enkel betrekking op één stuk leerstof.

Controle en planmatig denken

Regelmatige controle is belangrijk binnen een goed oplossingsproces: nakijken of de gebruikte kennis en heuristiek leidt tot de oplossing, je afvragen of tussenresultaten mogelijk zijn en alert blijven of je wel ‘goed bezig bent’. Dit kan en moet ook apart aangeleerd worden. Heuristieken zijn algemeen maar moeten bij elk probleem anders geïnterpreteerd worden. Er zijn er heel wat zodat het niet altijd gemakkelijk is om de aangepaste heuristiek te kiezen. Inhoudelijke achtergrond en het hanteren van heuristieken moeten gecombineerd worden. Een oplossingsproces moet gestuurd worden. Hierbij hoort ook de strategie van Polya: analyse, planning, uitwerking en controle. Het is een vereenvoudigd rijtje want heel dikwijls moet je terugkeren naar de analysefase omdat je bijvoorbeeld een nieuw deelprobleem tegenkomt.

Houding tot wiskunde (‘beliefs’)

Soms moet je echt door een blokkade bij leerlingen. Sommige leerlingen zijn heel zeker dat ze geen wiskunde kunnen en niet zelfstandig oefeningen kunnen oplossen. Ze gebruiken hun wiskundige kennis niet omdat ze niet geloven dat deze kennis bruikbaar is in problemen. Anderen geven te snel op omdat ze onzeker zijn. ‘Problemen oplossen is enkel iets voor wiskunde­knobbels.’ Dit merken we ook dikwijls in spelprogramma’s in de media. Niet beginnen aan een wiskundig probleem wordt vaak als normaal beschouwd, er wel aan beginnen is eerder uitzonderlijk. Sommige leerlingen hebben angst om aan iets te beginnen omdat ze misschien wel een fout zullen maken. Vroegere leerervaringen en de manier waarop leraren hen wiskunde lieten beleven, zijn hier uiterst doorslaggevend en het is niet eenvoudig om deze houding positief om te buigen. Als leerlingen genoeg ervaren dat het wel lukt en dat fouten leerkansen opleveren, kunnen ze meer zelfzeker worden.

 2.3 Het opbouwen van een geordend kennisbestand

In wiskundelessen bekijken we problemen vanuit een wiskundig standpunt. We stellen vragen waarbij het inzetten van wiskundig gereedschap nuttig is. Voorleven is een opdracht voor de leerkracht. Veel oefenen is een opdracht voor de leerling. Leerlingen moeten aan den lijve ondervinden dat oefenen helpt. Zo bouwen ze een kennisbestand op over probleemoplossend denken dat hen kan helpen om nieuwe problemen aan te pakken. Hoe meer je oefent, hoe verder dit bestand zich uitbreidt. Dit kennis­bestand bevat de verschillende aspecten uit de theorie van Schoenfeld. Het ontbreken van één of meerdere van deze aspecten levert een ernstige drempel om een goede probleemoplosser te worden. We maken het hieronder wat concreter.

Misvattingen en gebrek aan vakinhoude­lijke kennis of vaardigheden
  • Het niet beheersen van wiskundige begrip­pen zoals procent, afgeleide, cosinus, …,
  • Formules niet kennen bv. voor oppervlakte­berekeningen of afgeleiden,
  • Wiskundige fouten maken bv. rekenfouten, fouten bij herleidingen, merkwaardige pro­ducten…,
  • Verbanden tussen begrippen niet ken­nen/inzien bv. bij bruto, tarra, netto,
  • Geëigende afspraken niet kennen bij tabellen of grafieken,
  • Gebruikte taal niet begrijpen.
Te weinig kennis, misvattingen of vaardigheden op het vlak van heuristieken, controle en planmatig denken

De leraar moet er zich bewust van zijn dat hij specifieke heuristieken gebruikt die voor hem heel normaal zijn maar dat hij deze nog moet aanleren aan zijn leerlingen om van hen goede probleemoplossers te maken.

  • Maak een tekening.
  • Werk eerst met eenvoudige getallen.
  • Formuleer een hypothese en controleer die.
  • Maak een schatting om de oplossing te vinden.
  • Gebruik je ervaringskennis.
  • Probeer een patroon te herkennen.
  • Controleer tussenoplossingen.
  • Controleer of je vordering maakt in de oplossing van het probleem.

Vaak analyseert de leraar een probleem samen met de leerlingen. Hij stuurt ze in een bepaalde richting. Eens de werkwijze is uitgezet, mogen de leerlingen het probleem verder oplossen. Het resterende werk is dan nog het hanteren van aangeleerde technieken. Wanneer leerlingen volledig zelfstandig een probleem moeten oplossen, zijn ze er dan vaak niet toe in staat, met
de volgende mogelijke reacties van de leraar tot gevolg: ‘je hebt de opgave niet goed gelezen’, ‘je weet niet goed wat er gevraagd wordt’, ‘dit is toch geen realistische oplossing’…

Voorbeelden van het niet functioneel inzetten van heuristieken zijn
  • geen functionele tekening (vaak volstaat een schets),
  • een schematische voorstelling die het denken niet ondersteunt,
  • stappen overslaan,
  • gegevens niet goed ordenen,
  • een schatting maken die niet zinvol is,
  • je oplossing niet controleren of niet opnieuw in de context plaatsen,
  • enkel de bewerking controleren, niet de werkwijze.