In dit artikel staat de formule van Heron centraal. Deze formule drukt de oppervlakte van een drie­hoek uit in functie van de lengten van de zijden. Naast het gebruikelijke schoolbewijs geven we drie alternatieve, minder bekende bewijzen. Daarbij gaan we een veralgemening tot de opper­vlakte van een willekeurige (niet-gekruiste) vier­hoek niet uit de weg.

1. Inleiding

Het merendeel van de leerkrachten wiskunde die in het vierde jaar de formule van Heron bewijzen, volgen hierbij hetzelfde ‘schoolbewijs’ dat steunt op de cosinusregel. Op zich is dat erg begrijpelijk, omdat het een rechtstreekse toepassing is op de cosinusregel, een leerstofonderdeel dat ook in het vierde jaar aan bod komt. Toch is het zinvol om de leerlingen ook kennis te laten maken met andere, alternatieve bewijzen. Hierbij is wat de leerlingen gaandeweg leren net zo belangrijk als de eindbestemming. Tegelijk kan dit ook hun waardering voor de wiskunde stimuleren: de verwondering die opgewekt wordt door elegante en creatieve redeneringen, en de rijke geschiedenis die daarmee in verband staat. Hedendaagse wiskundigen vinden af en toe nog een nieuwe invalshoek om eeuwenoude formules zoals die van Heron te bewijzen. Ook deze aspecten van de wiskundige vorming willen we aan onze leerlingen meegeven.

In een eerste paragraaf bespreken we het histo­risch kader waarin we de formule van Heron kunnen plaatsen. Na een eerste kritische kennis­making met de formule, komen vier bewijzen aan bod. Het eerste is het schoolbewijs zoals hierboven vermeld. Daarna zien we het bewijs van Rafaizen dat enkel gebruik maakt van de stelling van Pythagoras. Het derde bewijs komt van Dunham die het in 1985 bedacht heeft. Dit bewijs maakt gebruik van de oppervlakte van een driehoek in functie van de straal van de ingeschreven cirkel en van een goniometrische identiteit. Ten slotte bespreken we een veral­gemening van de formule van Heron om de oppervlakte van een willekeurige (niet-gekruiste) vierhoek te bereke­nen, met het in 1891 opgeschreven bewijs van Hobson. Als bijzonder geval volgt daaruit de formule van Brahmagupta voor de oppervlakte van een convexe koordenvierhoek, die op zijn beurt de formule van Heron voor de oppervlakte van een driehoek impliceert. Op die manier ron­den we het vierde en laatste bewijs af.

Het grootste deel van de tekst is op maat van leer­lingen van het vierde jaar geschreven. Met het oog op de klaspraktijk voorzien we sommige hulpresultaten van een bewijs zonder woorden. Hoewel bewijzen zonder woorden eigenlijk geen bewijzen zijn maar eerder ideeën van hoe iets kan worden bewezen met behulp van een figuur, zijn ze vaak elegant en blijven ze langer hangen dan een formeel bewijs. Een uitgebreidere versie van dit artikel is online beschikbaar op mijn website koendenaeghel.be. In dat artikel wordt nog een extra bewijs voor de formule van Heron behandeld en wordt alle nodige voorkennis aan­gebracht.

2. Een beknopte geschiedenis

2.1 Leven en werk

Heron was een wiskundige en ingenieur uit de klassieke oudheid. Zijn naam wordt soms anders gespeld, zoals Hero of Heroon. Heron leefde in de stad Alexandrië, genoemd naar Alexander de Grote (356-323 v.C.) en gelegen in het huidige Egypte. Vandaar dat men spreekt over Heron van Alexandrië.

Over het leven van Heron is zeer weinig bekend. Zelfs over wanneer hij precies geleefd heeft, bestaat twijfel. Een direct aanknopingspunt werd pas in 1938 gevonden, toen de wetenschapshisto­ricus Otto Neugebauer (1938) ontdekte dat Heron in z’n werk Dioptra verwijst naar een zons­verduistering die zich in Herons leven voltrok. Neugebauer kon, met behulp van Herons beschrijvingen, achterhalen dat die zonsverduis­tering plaatsvond te Alexandrië op 13 maart 62 n.C. om 11 u. ’s avonds (O’Connor & Robertson). Om die reden is het gangbaar om het leven van Heron rond 75 n.C. te plaatsen (Eves, 1983).

De geschriften van Heron wijzen erop dat hij les gaf in de bibliotheek van Alexandrië. Sommige van zijn werken zijn duidelijk leerboeken, die gaan over wiskunde en natuurkunde, zoals mechanica en de studie van samengeperste gassen (O’Connor & Robertson).

Heron toonde een grote interesse in praktische toepassingen. Zo legde hij in zijn Dioptra uit hoe tunnels door bergen moesten worden gegraven en hoe de hoeveelheid water, die uit een bron opwelt, kan worden gemeten (Dunham, 1991). Zijn visie op de rol van wiskunde in de maat­schappij maakte van Heron een toegepast wis­kundige avant la lettre. In zijn werken beschreef hij honderden machines, waaronder een brand­weervoertuig, een windorgel, een verkoopau­tomaat… Zijn meest bekende uitvinding is een zogenaamde aeolipile: een luchtdichte kamer die opgewarmd wordt en gaat ronddraaien door de ontsnappende stoom die langs buisjes geleid wordt (figuur 1). Herons machine is het vroegst bekende voorbeeld van een stoommachine, die pas verder ontwikkeld werd in de 18de eeuw. Zijn uitvinding wordt zelfs beschouwd als een voorloper van de straalmotor en de raket (Wikipedia).

Figuur 1. De aeolipile van Heron

2.2 Herons verloren bewijs

Wiskundigen associëren Heron met de formule die de oppervlakte van een driehoek uitdrukt in functie van de lengten van de zijden (zie para­graaf 3). Deze eigenschap heeft, net zoals vele an­dere onderwerpen die Heron bestudeerd heeft, duidelijk een praktisch nut. Het bewijs dat Heron van deze formule gaf, is evenwel van een heel andere orde: een opmerkelijk staaltje van ab­stract meetkundig redeneren. Het verscheen als Propositie I.8 in Herons Metrica, een werk dat op zich een bewogen geschiedenis kent.

Voor lange tijd was de bibliotheek van Alexan­drië, gesticht rond 300 v.C., het Westerse kennis­centrum van de oudheid. Op het hoogtepunt in de eerste eeuw v. C. bevatte de bibliotheek 700 000 boekrollen. Door deze concentratie van informatie over allerlei wetenschappen en ken­nisgebieden trok de bibliotheek studenten en ge­leerden uit de hele beschaafde wereld aan. De bibliotheek fungeerde niet alleen als materiële bewaarplaats van het collectief geheugen, maar werd ook uitgebouwd tot een heus studiecentrum. Vooraanstaande wetenschap­pers, waaronder Euclides, Archimedes en ook Heron, vestigden zich in Alexandrië om van de bibliotheek gebruik te maken (Wikipedia).

De bibliotheek van Alexandrië bleef actief tot 529 n.C., toen de christenen het tot sluiting dwongen vanwege de grote collectie van heidense documenten. De boekverbranding door de Arabieren in 641 n.C. was dan weer het resultaat van het legendarische order van generaal Amr ibn al-As:

“Ofwel zijn de boeken in strijd met de Koran en in dat geval is het ketterij, en anders zijn ze in overeenstemming met de Koran en dus overbodig.”

Naar verluidt zou de gehele inhoud van de biblio­theek, op de werken van Aristoteles na, zijn ver­nietigd. Gelukkig werd een aanzienlijk deel van de overgebleven boeken in de loop der tijd naar andere bibliotheken versleept, waaronder die van Constantinopel. Bovendien hebben heel wat historici doorheen de geschiedenis de antieke werken uit de oudheid besproken. Zo schreef de Oudgriekse wiskundige Eutocius van Ascalon in de zesde eeuw n.C. een aantal commentaren over de verhandelingen van Archimedes en Apollonius van Perga (Boyer, 1991). In één van zijn commen­taren verwijst Eutocius naar Herons Metrica. Door deze referentie hadden wiskundigen sinds­dien weet van de verhandeling van Heron. Helaas ontbrak elk ander spoor.

Alles wees erop dat de Metrica, en dus ook het oorspronkelijk bewijs van de formule van Heron, voorgoed verloren was gegaan. Tot de wiskun­dige en historicus Paul Tannery in 1894 een frag­ment van de Metrica in een Perzisch manuscript uit de dertiende eeuw vond. Twee jaar later vond R. Schöne in Constantinopel het volledige werk terug, verborgen in een manuscript van de elfde eeuw. Op die manier kwam de Metrica, samen met Herons bewijs van de naar hem genoemde formule, terecht in de moderne tijd (Dunham, 1991).

3. Kennismaking met de formule van Heron

Met de formule van Heron kunnen we de opper­vlakte van een driehoek berekenen. Zo’n formule lijkt op het eerste gezicht overbodig, omdat de bekende standaardformule

\(\text{opp. driehoek} = \frac{\text{basis} \times \text{hoogte}}{2}\)

zowel eenvoudig als gemakkelijk te gebruiken is. Toch kan deze basisformule niet meteen gebruikt worden om de oppervlakte van de driehoek in figuur 2 te berekenen: daarvoor moet bv. eerst de hoogte op de basis met lengte 46 gekend zijn.

Figuur 2

Als we van een driehoek de lengten van de drie zijden kennen, ligt de oppervlakte van de drie­hoek vast. Inderdaad, hebben we een tweede driehoek waarvan de lengten van de zijden ook gelijk zijn aan 46, 60 en 28, dan is die tweede drie­hoek congruent met de driehoek in figuur 2 en is dus ook zijn oppervlakte gelijk aan die van de driehoek in figuur 2.

Nu we weten dat de oppervlakte van een drie­hoek bepaald is door de lengten van de zijden, kunnen we ons afvragen hoe we de oppervlakte via die drie lengten kunnen berekenen. Het antwoord wordt gegeven door de zogenaamde formule van Heron (1):

\(\text{oppervlakte driehoek} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

waarbij \(a,b\) en \(c\)  staan voor de lengten van de drie zijden van de driehoek en  gelijk is aan de halve omtrek (Engelse term: semiperimeter):

\(s = \frac{a+b+c}{2}.\)

Zo is voor de driehoek in figuur 2 de halve omtrek gelijk aan \(s = \frac{46+60+28}{2} = 67\) . De formule van Heron geeft dan:

\(\begin{align*}\text{oppervlakte driehoek} &= \sqrt{67\cdot(67-46)\cdot(67-60)\cdot(67-28)} \\
&= \sqrt{384\,111} = 21\sqrt{871} = 619,76\ldots\text{mm}^2
\end{align*}\)

In plaats van de formule van Heron meteen te bewijzen, vinden we het zinvoller om die formule eerst eens kritisch onder de loep te houden. Dat doen we door de formule te onderwerpen aan zes testen.

  1. De test op een specifiek geval controleert formule (1) voor een welbepaalde driehoek, bv. de rechthoekige driehoek waarvan de rechthoekszijden en  beide lengte   Zie figuur 3.

    Figuur 3

    De oppervlakte van deze driehoek kan gevonden worden met de basisformule

    \(\begin{align*}
    \text{opp. driehoek} &= \frac{\text{basis} \times \text{hoogte}}{2} \\
    &= \frac{1 \cdot 1}{2} = \frac{1}{2}\\
    \end{align*}\)

    Om formule (1) te controleren, hebben we eerst de lengte van de schuine zijde nodig. Uit de stelling van Pythagoras volgt dat \(c = \sqrt{2}\). De halve omtrek is dan gelijk aan  \(s = \frac{1+1+\sqrt{2}}{2} = 1+\frac{\sqrt{2}}{2}\) en de formule (1) geeft ons, na een nuttige rekenoefening, inderdaad het correcte resultaat:

    \(\begin{align*}
    \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} & = \sqrt{\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\cdot\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\cdot\,\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} \\
    & = \sqrt{\left(1^2-\biggl(\frac{\sqrt{2}}{2}\biggr)^2\right)\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} \\
    & = \sqrt{\frac{1}{2}\,\cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}.
    \end{align*}\)
  2. De test op de eenheden houdt in dat, als we rekening houden met de eenheden, formule (1) wel degelijk de eenheid van oppervlakte weergeeft. Zo vinden we voor de zijden in figuur 2, uitgedrukt in millimeter, datwaarbij  inderdaad een eenheid van oppervlakte voorstelt.
    \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{384\,111\;\text{mm}^4} = 619,76\ldots\;\text{mm}^2\)
  3. De test op symmetrie gaat na of formule (1) symmetrisch is ten opzichte van de lengten van de zijden. Verwisselen we bv. de letters \(a\) en \(b\) dan blijft het eindresultaat van de for­mule inderdaad hetzelfde.
  4. De test op verschalen controleert of for­mule (1) geldig blijft wanneer we de drie­hoek vergroten of verkleinen. Maken we bv. elke zijde dubbel zo lang (schaalfactor 2) dan verkrijgen we een gelijkvormige driehoek met zijden \(2a, 2b, 2c\) en halve omtrek \(2s\). Toepassen van formule (1) geeft
    \(\sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)} = 4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\)

    waaruit blijkt dat na het verschalen van de driehoek met factor 2 de oppervlakte van de driehoek inderdaad 4 keer zo groot wordt.
  5. De test op een zinvolle uitdrukking gaat na of we voor elke driehoek met lengten en  op een zinvolle manier in de uitdrukking \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) kunnen invullen. Omwille van de vierkantswortel, moet het product \(s(s-a)(s-b)(s-c)\) steeds positief zijn. Alvast is zeker dat \(s > 0\). Laten we eens nagaan in welke gevallen de tweede factor positief is.
    \(\begin{align*}
    0 < s-a \quad
    & \Leftrightarrow \quad 0 < \frac{a+b+c}{2} – a \\
    & \Leftrightarrow \quad 0 < \frac{-a+b+c}{2} \\
    & \Leftrightarrow \quad a < b + c.
    \end{align*}\)

    In een driehoek is de lengte van elke zijde steeds kleiner dan de som van de lengten van de twee andere zijden. Er geldt dus steeds dat \(a < b + c \) en dus ook dat \(s-a > 0\). Analoog voor \(s-b>0\) en \(s-c > 0\), zodat de uitdrukking \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) voor elke driehoek zinvol is.
  6. De test op limietovergang houdt in dat for­mule (1) geldig blijft wanneer we de lengte van één zijde van de driehoek laten naderen naar nul. Dat kan bv. door een hoekpunt van de driehoek langs een aangrenzende zijde naar een ander hoekpunt te verschuiven. In dat proces vervormen we de driehoek. Uit­eindelijk vallen twee hoekpunten samen en krijgen we een lijnstuk dat oppervlakte nul heeft. Laten we naar nul naderen, dan zal  evolueren naar  en in de limiet wordt for­mule (1)
    \(\text{opp } \Delta ABA = \sqrt{s(s-a)(s-a)s}\)

    waarbij
    \(s = \frac{a+a+0}{2} = a\)

    Dit drukt inderdaad uit dat de oppervlakte van driehoek  gelijk is aan nul.Hoewel de formule van Heron glansrijk slaagt op elk van deze testen, is dat nog geen bewijs dat de formule klopt voor elke driehoek. In paragraaf 4 zullen we een eerste bewijs uitwerken.

4. Het schoolbewijs

In deze paragraaf geven we het bewijs zoals het meestal in het vierde jaar van het middelbaar onderwijs gezien wordt indien de formule van Heron aan bod komt. Dit is het meest courante bewijs van de formule. Zie bv. Coxeter (1969), p. 12 en Niven (1981), p. 7. Het bewijs steunt op de cosinusregel.


Stelling (formule van Heron)

Beschouw een driehoek met hoekpunten \(A\),\(B\) en \(C\). Dan geldt:

\(\text{oppervlakte }\Delta ABC = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \text{ waarbij }s=\frac{a+b+c}{2}\)

Figuur 4

Schoolbewijs

Vanuit het hoekpunt  \(C\) tekenen we de hoogtelijn \(CP\). Het gevalsonderscheid in figuur 4 laat zien dat  steeds een rechthoekige driehoek is met schuine zijde \(a\) en rechthoekszijden \(b \sin \alpha\) en \(c-b\cos \alpha\).

Uit figuur 4 volgt dat \(\text{oppervlakte }\Delta ABC = \frac{\text{basis} \times \text{hoogte}}{2} = \frac{1}{2}\,bc\sin \alpha \). Met de grondformule van de goniome­trie kunnen we  \(\sin \alpha\) uitdrukken in functie van \(\cos^2 \alpha\):

\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha = \pm\sqrt{1 – \cos^2 \alpha}. \).

Merk op dat \(\sin \alpha > 0 \), zowel voor \(\alpha\) scherp, recht als stomp, zodat \(\sin \alpha = \sqrt{1 – \cos^2 \alpha}\). Vervangen in de vorige uitdrukking voor de oppervlakte van \(\Delta ABC\) leidt tot:

\(\text{oppervlakte }\Delta ABC  = \frac{1}{2}\,bc \sqrt{1-\cos^2 \alpha}\)

Met de cosinusregel kunnen we \(\cos^2 \alpha\) in functie van de zijden  \(a, b\)  en   \(c\) schrijven:

\(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos \alpha \quad \Rightarrow \quad \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}\)

zodat

\(\begin{align*}\text{oppervlakte }\Delta ABC
& = \frac{1}{2}\,bc \sqrt{1 – \frac{(b^2 + c^2 – a^2)^2}{4b^2c^2}} \\[0.2cm]
& = \frac{1}{2}\,bc\,\frac{1}{2bc}\,\sqrt{4b^2c^2 – (b^2 + c^2 – a^2)^2}\\[0.2cm]
& = \frac{1}{4}\,\sqrt{(2bc)^2 – (b^2 + c^2 – a^2)^2}.\\[-0.2cm]
\end{align*}\)

Onder het wortelteken merken we een verschil van twee kwadraten op, dat we kunnen ontbinden in factoren. Daarna vinden we, dankzij twee merkwaardige producten, opnieuw een verschil van twee kwadraten:

\(\begin{align*}\text{oppervlakte }\Delta ABC
& = \frac{1}{4}\,\sqrt{\bigl(2bc-(b^2+c^2-a^2)\bigr)\bigl(2bc+(b^2+c^2-a^2)\bigr)} \\[0.2cm]
& = \frac{1}{4}\,\sqrt{\bigl(a^2 – (b^2-2bc+c^2)\bigr)\bigl((b^2 + 2bc + c^2)-a^2\bigr)} \\[0.2cm]
& = \frac{1}{4}\,\sqrt{\bigl(a^2 – (b-c)^2\bigr)\bigl((b+c)^2-a^2\bigr)} \\[0.2cm]
& = \frac{1}{4}\,\sqrt{\bigl(a-(b-c)\bigr)\bigl(a+(b-c)\bigr)\bigl((b+c)-a\bigr)\bigl((b+c)+a\bigr)} \\[0.2cm]
& = \frac{1}{4}\,\sqrt{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)} \\[0.2cm]
& = \frac{1}{4}\,\sqrt{(2s-2b)(2s-2c)(2s-2a)2s} \\[0.2cm]
& = \sqrt{(s-b)(s-c)(s-a)s}.\\[-0.2cm]
\end{align*}\)

Herschikken van de factoren vervolledigt het bewijs van de formule van Heron.


Merk op dat het schoolbewijs van de formule van Heron, door het uitschrijven van alle stap­pen, vrij lang is. Dat heeft wiskundigen ertoe aan­gezet om te zoeken naar andere bewijzen. Het meest gekende voorbeeld hiervan tonen we in de volgende paragraaf.

5. Het bewijs van Rafaizen

Omdat de cosinusregel bewezen kan worden met de stelling van Pythagoras, moeten we dus ook de formule van Heron kunnen bewijzen zonder expliciet gebruik te maken van de cosinusregel. Dat leidt tot een variant van het schoolbewijs, met als voordeel dat het in principe al begrepen kan worden van zodra de stelling van Pythagoras ge­kend is (derde middelbaar). Het bewijs vonden we terug in een publicatie van Claude Rafaizen uit 1941. Zijn gedachtegang is echter zo logisch dat het verwonderlijk zou zijn mocht, in een tijd­spanne van bijna tweeduizend jaar, niemand voor hem een soortgelijke berekening gemaakt hebben. Maar zolang deze referenties ontbreken, zullen we dit bewijs aan Rafaizen blijven toekennen: wie schrijft, die blijft!


Stelling (formule van Heron)

Beschouw een driehoek met hoekpunten \(A\),\(B\) en \(C\). Dan geldt:

\(\text{oppervlakte }\Delta ABC = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \text{ waarbij }s=\frac{a+b+c}{2}\)

Bewijs van Rafaizen:

In elke driehoek zal, voor minstens één hoekpunt, de loodlijn uit dat punt op de overstaande zijde (de hoogtelijn) die zijde ook snijden. Na eventueel de hoekpunten opnieuw te benoemen, mogen we aannemen dat \(C\) zo’n hoek­punt is. Noem \(P\) het voetpunt van de hoogtelijn uit \(C\), zie figuur 5.

Figuur 5

Alvast is

\(\text{oppervlakte }\Delta ABC = \frac{\text{basis} \times \text{hoogte}}{2} = \frac{1}{2}\,ch. \)

Willen we de oppervlakte van  \(\Delta ABC\)  in functie van de zijden \(a, b\) en  \(c\) schrijven, dan moeten we dat eerst voor de lengte \(h\) doen. We zoeken dus eerst een formule voor \(h\)  in termen van de letters \(a, b\) en  \(c\).

Uit de stelling van Pythagoras volgt:

\(\begin{align*}
c = \left|AP\right| + \left|PB\right| \quad & \Rightarrow \quad c = \sqrt{b^2-h^2} + \sqrt{a^2-h^2} \\[0.2cm]
& \Rightarrow \quad c – \sqrt{b^2-h^2} = \sqrt{a^2-h^2} \\[0.2cm]
& \Rightarrow \quad \left(c-\sqrt{b^2-h^2}\right)^2 = a^2-h^2 \\[0.2cm]
& \Rightarrow \quad c^2 – 2c\sqrt{b^2-h^2} + b^2 – h^2 = a^2 – h^2 \\[0.2cm]
& \Rightarrow \quad b^2 + c^2 – a^2 = 2c\sqrt{b^2-h^2} \\[0.2cm]
& \Rightarrow \quad (b^2 + c^2 – a^2)^2 = 4c^2(b^2 – h^2) \\[0.2cm]
& \Rightarrow \quad (b^2 + c^2 – a^2)^2 = 4b^2c^2 – 4c^2h^2 \\[0.2cm]
& \Rightarrow \quad h = \frac{1}{2c}\,\sqrt{4b^2c^2 – (b^2 + c^2 – a^2)^2}.
\end{align*}\)

Analoog aan het schoolbewijs hierboven verkrijgen we dan:

\(\begin{align*}
\text{oppervlakte }\Delta ABC
& = \frac{1}{2}\,ch \\[0.2cm]
& = \frac{1}{2}\,c\,\frac{1}{2c}\,\sqrt{4b^2c^2 – (b^2 + c^2 – a^2)^2} \\[0.2cm]
& = \ldots\\
& = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align*}\)


In het bewijs heeft Rafaizen de formule voor  verkregen vanuit de irrationale identiteit

\(c = \sqrt{b^2-h^2} + \sqrt{a^2-h^2}\)

De manier waarop dit gebeurt, doet denken aan een techniek die gebruikt wordt bij het oplossen van irrationale vergelijkingen, een onderwerp dat in het vijfde jaar van het middelbaar onderwijs aan bod komt. Om die reden lijkt het ons een goede plaats om de soms doelloos ogende berekeningen te doorspek­ken met dit alternatief bewijs van de formule van Heron.

Het bewijs van Rafaizen illustreert dat de stelling van Pythagoras leidt tot de formule van Heron, maar ook het omgekeerde is waar: de formule van Heron kan gebruikt worden om de stelling van Pythagoras te bewijzen. Deze twee resultaten uit de klassieke oudheid zijn dus equivalent. Voor een bewijs hiervan verwijzen we naar Pratt (2019).

6. Het bewijs van Dunham

Voor wie een eenvoudig bewijs van de formule van Heron wil, is er het bewijs van William Dun­ham uit 1985. Het maakt gebruik van de formule voor de oppervlakte van een driehoek in functie van de straal van de ingeschreven cirkel (lemma hieronder) en van de verdubbelingsformule van de sinus, die in het vijfde jaar van het middelbaar aan bod komt.

Lemma 1.

Figuur 6

De oppervlakte van een driehoek  is gelijk aan het product , waarbij staat voor de straal van de ingeschreven cirkel en  staat voor de halve omtrek van de driehoek:

\(\text{oppervlakte } \Delta ABC=rs\)

Bewijs:

Met de notaties van figuur 6 hebben we:

\(\begin{align*} \text{opp } \Delta ABC = \text{opp } \Delta ABI + \text{opp } \Delta BCI + \text{opp } \Delta CAI\\
= \frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br = r\left(\frac{a+b+c}{2}\right)=rs\end{align*}\)

Een bewijs zonder woorden van Nelsen (1991) vind je in figuur 7.

Figuur 7 Bewijs zonder woorden van Nelsen

Het resultaat van deze hulpstelling kan veralge­meend worden naar een veelhoek waarvan alle zijden raken aan een zelfde cirkel. Zo’n veelhoek wordt een omgeschreven veelhoek genoemd. Noemen we \(r\) de straal van die ingeschreven cirkel en \(s\) de halve omtrek van de omgeschreven veelhoek, dan is de oppervlakte van die veelhoek gelijk aan \(rs\) .

Hiermee kunnen we het bewijs van Dunham voor de formule van Heron aanvatten. Dit bewijs illu­streert de kracht van de goniometrie.


Stelling (formule van Heron)

Beschouw een driehoek met hoekpunten \(A\),\(B\) en \(C\). Dan geldt:

\(\text{oppervlakte }\Delta ABC = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \text{ waarbij }s=\frac{a+b+c}{2}\)

Bewijs van Dunham
(1985):

In figuur 8 beschouwen we \(\Delta ABC\) op twee manieren: aan de linkerkant werd de ingeschreven cirkel met middelpunt \(I\) getekend, aan de rechterkant de hoogtelijn uit hoekpunt  \(C\) met voetpunt \(P\). De lengte van het lijnstuk  \([CP]\) noemen we \(h\).

Uit de verdubbelingsformule voor de sinus met de notaties van figuur 8, volgt nu dat

\(h = b \sin \alpha = b \biggl(2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\biggr) = b\,\frac{2rx}{r^2 + x^2} = (x+z)\,\frac{2rx}{r^2 + x^2},\)

Figuur 8

Wegens lemma 1 geldt:

\(rs = \text{oppervlakte } \Delta ABC = \frac{1}{2}\,\left|AP\right|\cdot \left|CP\right| = \frac{1}{2}\,(x+y)h = \frac{1}{2}(x+y)(x+z)\,\frac{2rx}{r^2 + x^2}\)

Samengevat:

\(rs = \frac{1}{2}(x+y)(x+z)\,\frac{2rx}{r^2 + x^2}.\)

Kruislings vermenigvuldigen en vereenvoudigen levert:

\(s(r^2 + x^2) = x(x+y)(x+z) = x\left(x(x+y+z)+yz\right) = x(xs+yz).\)

zodat

\(\begin{align*}
& s(r^2 + x^2) = x(xs+yz) \\
\Rightarrow \quad & sr^2 + sx^2 = x^2s+xyz \\
\Rightarrow \quad & sr^2 = xyz.
\end{align*}\)

Maar dan is, opnieuw wegens de hulpstelling

\(\text{oppervlakte } \Delta ABC = rs = \sqrt{s(sr^2)} = \sqrt{s(xyz)} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

waarmee we de formule van Heron aangetoond hebben.


7. Veralgemening voor vier­hoeken

7. 1 Vierhoeken en koordenvier­hoeken

In de loop van het middelbaar onderwijs komen verschillende soorten vierhoeken aan bod. Zo maken we bv. een onderscheid tussen vierkant, rechthoek, ruit, trapezium en parallellogram. In deze paragraaf komen enkele eigenschappen van andere, meer algemene vierhoeken aan bod. Daarvoor voeren we eerst enkele benamingen in.

Een vierhoek \(ABCD\) is een vlakke figuur die wordt verkregen door vier verschillende punten\(A, B,C\) en \(D\) (hoekpunten) in het vlak te nemen waarbij er geen drie punten op eenzelfde rechte liggen, en de lijnstukken  \([AB],[BC],[CD]\) en \([DA]\) (zijden) te tekenen. De lengten van die zijden noteren we respectievelijk met \(a,b,c\) en \(d\). De lijnstukken\([AC]\) en \([BD]\)e noemen we de diagonalen van de vierhoek en hun lengten noteren we respectievelijk met \(p\) en \(q\). Als de zijden van de vierhoek elkaar enkel in de hoekpunten snijden, dan noemen we de vierhoek simpel. Als daarenboven de vierhoek volledig aan eenzelfde kant van elke (verlengde) zijde ligt, dan zeggen we dat de vierhoek convex is. Is een vierhoek simpel en is er minstens één zijde waarvoor de vierhoek niet aan dezelfde kant van die (verlengde) zijde ligt, dan noemen we de vierhoek concaaf. Een vierhoek die niet simpel is, noemen we gekruist. Figuur 9 illustreert de benamingen die we zonet hebben ingevoerd.

Figuur 9 Een convexe vierhoek, een concave vierhoek en een gekruiste vierhoek

Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de vier hoekpunten op een cirkel liggen. Zo is bv. elke rechthoek, en algemener elk gelijkbenig trapezium, een koordenvierhoek. Een koorden­vierhoek hoeft niet convex te zijn. Dat is bv. het geval met een zogenaamd antiparallellogram: een gekruiste vierhoek waarbij de overstaande zijden even lang zijn, dus waarbij \(a=c\) en \(b=d\)

Om de formule van Heron te veralgemenen tot simpele vierhoeken, hebben we enkele hulpresul­taten nodig.

De stelling van Ptolemaeus in een convexe koordenvierhoek

De tweede uitspraak van lemma 2 is een onder­deel van de beroemde stelling van Claudius Ptolemaeus (87-150 n.C.). De bewijzen zonder woorden steunen op basiseigenschappen van een cirkel: een omtrekshoek is half zo groot als de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat (1) en omtrekshoeken op dezelfde boog zijn gelijk (2).

Lemma 2
Beschouw een convexe koordenvier­hoek \(ABCD\). Dan geldt:

(a) de som van twee overstaande binnen­hoeken is \(180^\circ\);

(b) \(ac+bd = pq\)

Figuur 10  Bewijs van (a) zonder woorden.

We merken op dat ook de omgekeerde eigen­schappen van lemma 2 waar zijn.

De laatste hulpstelling is genoemd naar Pierre Varignon (1731). Zijn redenering werd negen jaar na zijn dood gepubliceerd. Het eerste deel van de stelling wordt als oefening gelaten.

Figuur 11 Bewijs van (b) zonder woorden van Derrick en Herstein (2012).

De laatste hulpstelling is genoemd naar Pierre Varignon (1731). Zijn redenering werd negen jaar na zijn dood gepubliceerd. Het eerste deel van de stelling wordt als oefening gelaten.

Lemma 3 (stelling van Varignon)

Beschouw een simpele vierhoek \(ABCD\).

(a) De middens van de opeenvolgende zijden vormen een parallellogram.

(b) De oppervlakte van de vierhoek is gelijk aan het dubbele van de oppervlakte van het parallellogram gevormd door de middens van de opeenvolgende zijden.

Figuur 12  Bewijs van (b) zonder woorden voor een convexe vierhoek en voor een concave vierhoek.

7.2 De formule van Dostor voor de oppervlakte van een simpele vierhoek en het bewijs van Hobson

De formule van Heron drukt de oppervlakte van een driehoek uit in functie van de zijden. Een voor de hand liggende vraag is of een soortgelijke for­mule ook gevonden kan worden voor een vier­hoek.

Is \(ABCD\) een koordenvierhoek met lengten van de opeenvolgende zijden \(a,b,c\) en \(d\), dan wordt de oppervlakte gegeven door de zogenaamde for­mule van Brahmagupta die een treffende gelijke­nis met de formule van Heron vertoont:

\(\text{oppervlakte } ABCD = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\)

Zoals gebruikelijk staat \(s\) voor de halve omtrek, dus \(s = \frac{a+b+c+d}{2}\). In het bijzonder geval van een rechthoek met \(a=c\) en  \(b=d\)  is  \(s=a+b\) . In dit geval geeft de formule van Brahmagupta

\(\sqrt{(s-a)^2(s-b)^2} = (s-a)(s-b) = ba\)

wat inderdaad de oppervlakte van de rechthoek geeft. De Indiase wiskundige Brahmagupta (598-668) was de eerste die een formule voor de oppervlakte van een koordenvierhoek in functie van de zijden vond, maar hij bewees ze niet (Archibald, 1922).

In deze paragraaf stellen we als doel om één van de formules voor de oppervlakte van een wille­keurige simpele vierhoek (dus niet noodzakelijk een koordenvierhoek) aan te tonen, namelijk de formule van Dostor (1848). Dat resultaat zal leiden tot een bewijs van de formule van Brahma­gupta voor koordenvierhoeken, wat op zijn beurt nog een bewijs voor de formule van Heron voor driehoeken geeft.


Stelling (formule van Dostor)

Beschouw een simpele vierhoek \(ABCD\). Dan geldt:

\(\text{oppervlakte } ABCD  = \frac{1}{4}\,\sqrt{4p^2q^2 – (b^2+d^2-a^2-c^2)^2}\)


Bewijs van Hobson
(1891):

In figuur 13 maken we een onderscheid tussen een convexe vierhoek (linkse figuur) en een concave vierhoek (rechtse figuur).

Figuur 13

In elk geval noemen we \(E\). het snijpunt van de twee diagonalen, \(\theta = A\widehat{E}B\) en stellen we

\(p_1 = |AE|, \quad p_2 = |CE|, \quad q_1 = |BE| \quad \text{ en } \quad q_2 = |DE|.\)

Uit het bewijs van de stelling van Varignon (b) in figuur 12 volgt dat

\(\text{oppervlakte } ABCD = \frac{1}{2}\,pq \sin \theta = \frac{1}{2}\,pq \sqrt{1-\cos^2 \theta} = \frac{1}{4}\,\sqrt{4p^2q^2 – (2pq\cos \theta)^2}.\)

Om de formule van Dostor te bewijzen, volstaat het om aan te tonen dat

\(2pq\cos \theta = \pm (b^2 + d^2 – a^2 – c^2).\)

Is de vierhoek \(ABCD\)  convex (linkerfiguur), dan is   \(p = p_1 + p_2\) en \(q = q_1 + q_2\) zodat:

\(\begin{align*}
2pq\cos \theta & = 2(p_1 + p_2)(q_1 + q_2)\cos\theta \\
& = 2p_1q_1\cos \theta + 2p_1q_2\cos\theta + 2p_2q_1\cos\theta + 2p_2q_2\cos \theta \\
& = 2p_1q_1\cos \theta – 2p_1q_2\cos(180^\circ – \theta) – 2p_2q_1\cos(180^\circ – \theta) + 2p_2q_2\cos \theta \\
& = -a^2 + d^2 + b^2 – c^2.
\end{align*}\)

In de laatste overgang hebben we voor elke term de cosinusregel toegepast. Is daarentegen de vierhoek  \(ABCD\) concaaf (rechtse figuur) dan vinden we:

\(\begin{align*}
2pq\cos \theta & = 2(p_1 + p_2)(q_2 – q_1)\cos\theta \\
& = 2p_1q_2\cos\theta -2p_1q_1\cos \theta + 2p_2q_2\cos \theta – 2p_2q_1\cos\theta \\
& = 2p_1q_2\cos \theta -2p_1q_1\cos \theta – 2p_2q_2\cos(180^\circ – \theta) + 2p_2q_1\cos(180^\circ – \theta) \\
& = – d^2 + a^2 + c^2 – b^2.
\end{align*}\)

7.3 De formules van Brahmagupta en van Heron als speciale gevallen

Als bijzonder geval volgt nu de formule voor de oppervlakte van een koordenvierhoek. En als laatste vinden we, opnieuw als speciaal geval, nog een bewijs van de formule van Heron.


Stelling (formule van Brahmagupta).

Beschouw een convexe koordenvierhoek \(ABCD\) . Dan geldt:

\(\text{oppervlakte } ABCD = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \) waarbij \(s = \frac{a+b+c+d}{2}.\)

Bewijs:

Wegens de stelling van Ptolemaeus is

\(ac+bd=pq\).

De vorige stelling geeft nu:

\(\begin{align*}
\text{oppervlakte } ABCD & = \frac{1}{4}\,\sqrt{4(ac+bd)^2 – (b^2+d^2-a^2-c^2)^2} \\
& = \frac{1}{4}\,\sqrt{\biggl(2(ac+bd) – (b^2+d^2-a^2-c^2)\biggr)\biggl(2(ac+bd) + (b^2+d^2-a^2-c^2)\biggr)} \\
& = \frac{1}{4}\,\sqrt{\biggl((a^2+2ac+c^2)-(b^2-2bd+d^2)\biggr)\biggl((b^2+2bd+d^2)-(a^2-2ac+c^2)\biggr)} \\
& = \frac{1}{4}\,\sqrt{\biggl((a+c)^2-(b-d)^2\biggr)\biggl((b+d)^2-(a-c)^2\biggr)} \\
& = \frac{1}{4}\,\sqrt{(a+c-b+d)(a+c+b-d)(b+d-a+c)(b+d+a-c)} \\
& = \frac{1}{4}\,\sqrt{(2s-2b)(2s-2d)(2s-2a)(2s-2c)} \\
& = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}.
\end{align*}\)



Stelling (formule van Heron).

Beschouw een driehoek met hoekpunten \(A\),\(B\) en \(C\). Dan geldt:

\(\text{oppervlakte }\Delta ABC = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \text{ waarbij }s=\frac{a+b+c}{2}\)
Bewijs:

Op de omgeschreven cirkel van  \(\Delta ABC\)  nemen we een punt  \(D\) dat tussen \(A\) en  \(C\) gelegen is, zie figuur 14. Noemen we\(a’=c, b’=a, c’ = |CD|, d’ = |DA| \) dan volgt uit de vorige stelling:

\(\begin{align*}
\text{opp. } ABCD & = \sqrt{(s-a’)(s-b’)(s-c’)(s-d’)} \quad \text{ waarbij } s = \frac{a’+b’+c’+d’}{2} \\
& = \sqrt{(s-c)(s-a)(s-c’)(s-d’)} \quad \text{ waarbij } s = \frac{c+a+c’+d’}{2}.
\end{align*}\)

Figuur 14  Van koordendriehoek naar koordenvierhoek

Laten we het punt \(D\) nu langs de cirkelboog nade­ren naar het punt \(A\) , dan zal\(d’\) evolueren naar nul terwijl \(c’\) zal naderen naar \(b\). In de limiet vinden we dan:

\(\text{opp. } ABC = \text{opp. } ABCA = \sqrt{(s-c)(s-a)(s-b)(s-0)} \quad \text{ waarbij } s = \frac{c+a+b+0}{2}\)

waarmee de formule van Heron bewezen is.


Als slotbemerking willen we de lezer wijzen op enige voorzichtigheid: zomaar  gelijk stellen aan nul in de formule van Brahmagupta zou enkel mogen als we de geldigheid van de formule gecontroleerd hebben in het geval één van de zijden van de koordenvierhoek lengte nul heeft, hetgeen we niet expliciet gedaan hebben.

Bronnen

Archibald, R.C. (1922). The area of a quadrilateral. The American Mathematical Monthly 29/1, 29-36.

Boyer, C.B. (1991). A History of Mathematics, 2e ed., John Wiley & Sons, Inc.

O’Connor, J.J., Robertson, E.F., Heron of Alexandria.

Opgehaald van http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Heron.html.

Coxeter, H.S.M. (1969). Introduction to Geometry, 2nd ed.. New York: Wiley.

De Naeghel, K. (2016). De formule van Heron. Opgehaald van http://www.koendenaeghel.be

Derrick, W., Herstein, J. (2012). Proof without Words: Ptolemy’s Theorem. The College Mathematical Journal 43/5, p. 386.

Dostor, G. (1848). Aire d’un quadrilatère quelconque. Nouvelles Annales de Mathématiques 7, 69-75.

Dunham, W. (1985). An ancient/modern proof of Heron’s formula. Mathematics Teacher 78/4, 258-259.

Dunham, W. (1991). Journey through genious: the great theorems of mathematics. Penguin Books.

Eves, H. (1983). An introduction tot the history of mathematics, 5th ed. Philadelphia: Saunders.

Hobson, E.W. (1891). A treatise on plane trigonometry. London: Cambridge University Press.

Nelsen, R.B. (1993). Proofs without words: exercises in visual thinking. Washington: Mathematical Associa­tion of America.

Neugebauer, O. (1938). Über eine Methode zur Distanzbestimmung Alexandria-Rom bei Heron. København: Levin & Munskgaard, Ejnar Munskgaard.

Niven, I. (1981). Maxima and minima without calculus. MAA Dolciani Series No. 6.

Pratt, V. (2009). Factoring Heron. The College Mathematics Journal 40/1.

Rafaizen, C.H. (1941). A simpler proof of Heron’s formula. Mathematics Magazine 44, 27-28.

Varignon, P. (1731). Elements de Mathématique de Monsieur Varignon. Paris: Pierre-Michel Brunet, Fils.

Wikipedia, Aeolipile. Opgehaald van https://en.wikipedia.org/wiki/Aeolipile.

Wikipedia, Bibliotheek van Alexandrië.

Opgehaald van https://nl.wikipedia.org/wiki/Bibliotheek_van_Alexandrië

Deel reactie